PHẦN III-HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1. Các khái niệm và tính chất

1.1.1. Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $left( Oxy right),left( Oyz right),left( Ozx right).$

1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$

Chú ý:

1.1.3. Tọa độ véc tơ

1.1.4. Tọa độ điểm

1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho

• $vec{u}=vec{v}Leftrightarrow left{ begin{align} & a=a’ \ & b=b’ \ & c=c’ \ end{align} right.$
• $koverrightarrow{u}=left( ka; kb; kc right)$
• $overrightarrow{u}overrightarrow{v}=left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|.cos left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right)=aa’+bb’+cc’$
• $cos left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right)=frac{overrightarrow{u}overrightarrow{v}}{left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|}=frac{aa’+bb’+cc’}{left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|}$
• $left| overrightarrow{u} right|=sqrt{{{overrightarrow{u}}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
• $overrightarrow{u}bot overrightarrow{v}Leftrightarrow overrightarrow{u}overrightarrow{v}=0$
• $overrightarrow{AB}=left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}}; {{y}_{B}}-{{y}_{A}}; {{z}_{B}}-{{z}_{A}} right)$
• $AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}+{{left( {{z}_{B}}-{{z}_{A}} right)}^{2}}}$

1.1.6. Chú ý

1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là

Công thức tọa độ của M là :

1.1.8. Công thức trung điểm

1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác

1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ

1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

• • $left[ vec{u},vec{v} right]$ vuông góc với $vec{u}$ và $vec{v}$
  • $left| left[ vec{u},vec{v} right] right|=left| {vec{u}} right|.left| {vec{v}} right|sin left( vec{u},vec{v} right)$
  • $left[ vec{u},vec{v} right]=vec{0}Leftrightarrow vec{u},vec{v}$cùng phương

1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
  • Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
  • Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
• $A,,B,,C$ thẳng hàng $Leftrightarrow overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC}$ cùng phương $Leftrightarrow overrightarrow{AB}=koverrightarrow{AC}Leftrightarrow left[ overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC} right]=overrightarrow{0}$
• $ABCD$ là hình bình hành $Leftrightarrow overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$
• Cho $Delta ABC$ có các chân $E; F$ của các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$ của $Delta ABC$ trên $BC$.

Ta có: $overrightarrow{EB}=frac{-AB}{AC}.overrightarrow{EC}; overrightarrow{FB}=frac{AB}{AC}.overrightarrow{FC}$

• $A,,B,C,D$ không đồng phẳng $Leftrightarrow overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC}; overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng

$Leftrightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].overrightarrow{AD}ne 0$

2. MẶT PHẲNG

2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát

• $left( P right)$ qua gốc tọa độ $Leftrightarrow D=0$
• $left( P right)$ song song hoặc trùng $left( Oxy right)Leftrightarrow A=B=0$
• $left( P right)$ song song hoặc trùng $left( Oyz right)Leftrightarrow B=C=0$
• $left( P right)$ song song hoặc trùng $left( Ozx right)Leftrightarrow A=C=0$
• $left( P right)$ song song hoặc chứa $OxLeftrightarrow A=0$
• $left( P right)$ song song hoặc chứa $OyLeftrightarrow B=0$
• $left( P right)$ song song hoặc chứa $OzLeftrightarrow C=0$
• $left( P right)$ cắt $Ox$ tại $Aleft( a;0;0 right),$ cắt $Oy$ tại $Bleft( 0;b;0 right)$ và cắt $Oz$ tại $Cleft( 0;0;c right)Leftrightarrow left( P right)$ có phương trình $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1 left( a,b,c ne 0 right)$

2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

2.1.7. Chùm mặt phẳng

Nội dung

Hình vẽ

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai

mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ được gọi là một chùm mặt phẳng

Gọi $left( d right)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng

$left( alpha right): {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $left( beta right): {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Khi đó nếu $left( P right)$ là mặt phẳng chứa $left( d right)$ thì mặt phẳng $left( P right)$ có dạng :

$mleft( {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}} right)+nleft( {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}} right)=0$

Với ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}ne 0$

2.2. Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ta cần xác định một điểm thuộc $left( alpha right)$ và một VTPT của nó.

2.2.1. Dạng 1

$left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}}; {{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ có VTPT $overrightarrow{n}=left( A;B;C right)$ thì:

$left( alpha right): Aleft( x-{{x}_{0}} right)+Bleft( y-{{y}_{0}} right)+Cleft( z-{{z}_{0}} right)=0$

2.2.2. Dạng 2

$left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}}; {{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ có cặp VTCP $overrightarrow{a},overrightarrow{b}$ thì $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]$ là một VTPT của $left( alpha right)$

2.2.3. Dạng 3

$left( alpha right)$ đi qua điểm $Mleft( {{x}_{0}}; {{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và song song với $left( beta right):Ax+By+Cz=0$ thì $left( alpha right): Aleft( x-{{x}_{0}} right)+Bleft( y-{{y}_{0}} right)+Cleft( z-{{z}_{0}} right)=0$$$

2.2.4. Dạng 4

$left( alpha right)$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A, B, C$. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]$

2.2.5. Dạng 5

$left( alpha right)$ đi qua một điểm $M$ và một đường thẳng $left( d right)$ không chứa $M$:

• Trên $left( alpha right)$ lấy điểm $A$ và VTCP $overrightarrow{u}$.
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{u} right]$

2.2.6. Dạng 6

$left( alpha right)$ đi qua một điểm $M$, vuông góc với đường thẳng $left( d right)$ thì VTCP $overrightarrow{u}$ của đường thẳng $left( d right)$ là một VTPT của $left( alpha right)$.

2.2.7. Dạng 7

$left( alpha right)$ chứa đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$

• Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc d1 hoặc ${{d}_{2}}Rightarrow Min left( alpha right)$

2.2.8. Dạng 8

$left( alpha right)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ (${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau:

• Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{a}, overrightarrow{b} right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc ${{d}_{1}}Rightarrow Min left( alpha right)$

2.2.9. Dạng 9

$left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và song song với hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$:

• Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{a}, overrightarrow{b} right]$.

2.2.10. Dạng 10

$left( alpha right)$ chứa một đường thẳng $d$ và vuông góc với một mặt phẳng $left( beta right)$

• Xác định VTCP $overrightarrow{u}$ của $d$ và VTPT $overrightarrow{{{n}_{beta }}}$ của $left( beta right)$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{u}, overrightarrow{{{n}_{beta }}} right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc $dRightarrow Min left( alpha right)$

2.2.11. Dạng 11

$left( alpha right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $left( beta right), left( gamma right):$

• Xác định các VTPT $overrightarrow{{{n}_{beta }}}, overrightarrow{{{n}_{gamma }}}$ của $left( beta right)$ và $left( gamma right)$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{{{u}_{beta }}}, overrightarrow{{{n}_{gamma }}} right]$

2.2.12. Dạng 12

$left( alpha right)$ chứa đường thẳng $d$ cho trước và cách điểm $M$ cho trước một khoảng $k$ cho trước:

• Giả sử $left( alpha right)$ có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0 left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}ne 0 right)$
• Lấy 2 điểm $ABin left( d right)Rightarrow A, Bin left( alpha right)$ (ta được hai phương trình $left( 1 right),left( 2 right)$)
• Từ điều kiện khoảng cách $dleft( M, left( alpha right) right)=k$ , ta được phương trình (3).
• Giải hệ phương trình $left( 1 right),left( 2 right),left( 3 right)$ (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

2.2.13. Dạng 13

$left( alpha right)$ là tiếp xúc với mặt cầu $left( S right)$ tại điểm $H.$

• Giả sử mặt cầu $left( S right)$ có tâm $I$ và bán kính $R$
• Một VTPT của $left( alpha right)$ là: $overrightarrow{n}=overrightarrow{IH}$

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $left( P right):Ax+By+Cz+D=0$ và $left( P’ right): A’x+B’y+C’z+D’=0$

Khi đó:

• $left( P right)$ cắt $left( P’ right)$ $Leftrightarrow A:B:Cne A’:B’:C’$
• $left( P right)//left( P’ right)Leftrightarrow frac{A}{A’}=frac{B}{B’}=frac{C}{C’}ne frac{D}{D’}$
• $left( P right)equiv left( P’ right)Leftrightarrow frac{A}{A’}=frac{B}{B’}=frac{C}{C’}=frac{D}{D’}$
• $left( P right)bot left( P’ right)Leftrightarrow {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}bot {{overrightarrow{n}}_{left( P’ right)}}Leftrightarrow {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}.{{overrightarrow{n}}_{left( P’ right)}}=0Leftrightarrow AA’+BB’+CC’=0$

2.4. Khoảng cách và hình chiếu

2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ đến mặt phẳng $left( alpha right): Ax+By+Cz+D=0$ là $dleft( {{M}_{0}},left( alpha right) right)=frac{left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $left( P right)Leftrightarrow overrightarrow{MH}, overrightarrow{n}$ cùng phương $left( Hin left( P right) right)$

2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm $M’$ đối xứng với điểm $M$ qua $left( P right)Leftrightarrow overrightarrow{MM’}=2overrightarrow{MH}$

2.5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $left( alpha right), left( beta right)$ có phương trình: $left( alpha right): {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$

$ left( beta right): {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Góc giữa $left( alpha right), left( beta right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $overrightarrow{{{n}_{1}}}, overrightarrow{{{n}_{2}}}$.

$cos left( left( alpha right),left( beta right) right)=frac{left| overrightarrow{{{n}_{1}}}.overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{n}_{2}}} right|}=frac{left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} right|}{sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}^{2}}+sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

Chú ý: ${{0}^{0}}le left( widehat{left( alpha right),left( beta right)} right)le {{90}^{0}}$ ; $left( alpha right)bot left( beta right)Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0$

2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Cho mặt phẳng $left( alpha right): Ax+By+Cz+D=0$ và mặt cầu $left( S right): {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}+{{left( z-c right)}^{2}}={{R}^{2}}$ có tâm $I$

• $left( alpha right)$ và $left( S right)$ không có điểm chung $Leftrightarrow dleft( I,left( alpha right) right)>R$
• $left( alpha right)$ tiếp xúc với $left( S right)Leftrightarrow dleft( I,left( alpha right) right)=R$ với$left( alpha right)$ là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ của $left( S right)$ và vuông góc với $left( alpha right)$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$ của $d$ và $left( alpha right)$. $H$ là tiếp điểm của $left( S right)$ với $left( alpha right)$.

• $left( alpha right)$ cắt $left( S right)$ theo một đường tròn $Leftrightarrow dleft( I, left( alpha right) right)<R$

Để xác định tâm $H$ và bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ của $left( S right)$ và vuông góc với $left( alpha right)$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$ của $d$ và $left( alpha right)$. Với $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến của $left( S right)$ với $left( alpha right)$.
• Bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến: $r=sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$

3. ĐƯỜNG THẲNG

3.1. Phương trình của đường thẳng

3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

3.1.1.1. Ðịnh nghĩa

3.1.1.2. Chú ý

3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

3.2. Vị trí tương đối

3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

3.2.1.1. Phương pháp hình học

Định lý

Khi đó :

$left( Delta right) cap left( alpha right) Leftrightarrow vec a.vec n ne 0 Leftrightarrow A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} ne 0$

$left( Delta right)//left( alpha right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} vec a.vec n = 0\ {M_0} notin left( P right) end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} ne 0 end{array} right.$

$left( Delta right) subset left( alpha right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} vec a.vec n = 0\ {M_0} in left( P right) end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = 0 end{array} right.$

Đặc biệt

3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

3.2.2.1. Phương pháp hình học

Cho hai đường thẳng: ${{Delta }_{1}}$ đi qua $M$ và có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}$

${{Delta }_{2}}$ đi qua $N$ và có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}$

• ${{Delta }_{1}}equiv {{Delta }_{2}}Leftrightarrow left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{MN} right]=overrightarrow{0}$

${Delta _1} / / {Delta _2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] = overrightarrow 0 \ left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {MN} } right] ne 0 end{array} right.$

${Delta _1} cap {Delta _2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow {{u_1}} ,;overrightarrow {{u_2}} } right] ne overrightarrow 0 \ left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right].overrightarrow {MN} = 0 end{array} right.$

• ${{Delta }_{1}}$ và ${{Delta }_{2}}$ chéo nhau $Leftrightarrow left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right].overrightarrow{MN}ne 0$

3.2.2.2. Phương pháp đại số

3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

3.2.3.1. Phương pháp hình học

3.2.2.2. Phương pháp đại số

Thế ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) vào phương trình ( S ) và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t ( * )

• Nếu phương trình $left( * right)$ vô nghiệm thì d không cắt $left( S right)$
• Nếu phương trình ( * ) có một nghiệm thì s tiếp xúc ( S )
• Nếu phương trình ( * ) có hai nghiệm thì d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt M , N

Chú ý:

Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

3.3. Góc trong không gian

3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng

Nội dung

Hình vẽ

Định lý

Trong không gian $left( Oxyz right)$ cho hai mặt phẳng $alpha , beta $ xác định bởi phương trình :

$begin{array}{l} left( alpha right):;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\ left( beta right):;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0 end{array}$

Gọi $varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $alpha , beta $ ta có công thức:

$cos varphi =frac{left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} right|}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nội dung

Hình vẽ

Cho đường thẳng $left( Delta right): frac{x-{{x}_{0}}}{a}=frac{y-{{y}_{0}}}{b}=frac{z-{{z}_{0}}}{c}$

và mặt phẳng $left( alpha right):Ax+By+Cz+D=0$

Gọi $varphi $ là góc giữa $left( Delta right), left( alpha right)$ ta có công thức:

$sin varphi =frac{left| Aa+Bb+Cc right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng

3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Nội dung

Hình vẽ

Cho mặt phẳng $left( alpha right):Ax+By+Cz+D=0$ và điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$

Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}$ đến mặt phẳng $left( alpha right)$ được tính bởi :

$dleft( {{M}_{0}};Delta right)=frac{left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Nội dung

Hình vẽ

Cho đường thẳng $left( Delta right)$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và có VTCP $overrightarrow{u}=left( a,b,c right)$ . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến $left( Delta right)$ được tính bởi công thức:

$dleft( {{M}_{1}},Delta right)=frac{left| left[ overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}},overrightarrow{u} right] right|}{left| overrightarrow{u} right|}$

3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau

Nội dung

Hình vẽ

Định lý:

Trong không gian $left( Oxyz right)$ cho hai đường thẳng chéo nhau :

$left( {{Delta }_{1}} right)$ có $VTCP overrightarrow{u}=left( a,b,c right)$ và qua ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} right)$

$left( {{Delta }_{2}} right)$ có $VTCP overrightarrow{u’}=left( a’,b’,c’ right)$ và qua $M_{0}^{‘}left( x_{0}^{‘},y_{0}^{‘},z_{0}^{‘} right)$

Khi đó khoảng cách giữa $left( {{Delta }_{1}} right), left( {{Delta }_{2}} right)$ được tính bởi công thức$dleft( {{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}} right)=frac{left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{u’} right]overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{‘}} right|}{left| left[ overrightarrow{u},overrightarrow{u’} right] right|}$

3.5. Lập phương trình đường thẳng

Để lập phương trình đường thẳng $d$ ta cần xác định 1 điểm thuộc $d$ và một VTCP của nó.

3.5.1. Dạng 1

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và có VTCP $overrightarrow{a}=left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} right)$ là.$left( d right):left{ begin{array}{l} x = {x_0} + {a_1}t\ y = {y_0} + {a_2}t\ z = {z_0} + {a_3}t end{array} right.;;;left( {t in } right)$

3.5.2. Dạng 2

$d$ đi qua hai điểm $A, B:$ Một VTCP của $d$ là $overrightarrow{AB}$.

3.5.3. Dạng 3

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và song song với đường thẳng $Delta $ cho trước: Vì $d//Delta $ nên VTCP của $Delta $ cũng là VTCP của $d$.

3.5.4. Dạng 4

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$cho trước: Vì $dbot left( P right)$ nên VTPT của $left( P right)$cũng là VTCP của $d$.

3.5.5. Dạng 5

$d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( P right),left( Q right)$:

• Cách 1:

Tìm một điểm và một VTCP.

• Tìm toạ độ một điểm $Ain d$ bằng cách giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l} left( P right)\ left( Q right) end{array} right.$ (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
• Tìm một VTCP của $d:overrightarrow{a}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]$

• Cách 2:

Tìm hai điểm $A, B$ thuộc $d$, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

3.5.6. Dạng 6

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}:$

Vì $dbot {{d}_{1}}, dbot {{d}_{2}}$ nên một VTCP của $d$ là: $overrightarrow{a}=left[ overrightarrow{{{a}_{1}}},overrightarrow{{{a}_{2}}} right]$

3.5.7. Dạng 7

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$, vuông góc và cắt đường thẳng $Delta $.

• Cách 1:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $Delta $. Thì $left{ begin{array}{l} H in Delta \ overrightarrow {{M_0}H} bot overrightarrow {{u_Delta }} end{array} right.$

• Cách 2:

Gọi $left( P right)$là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$$, left( Q right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right)$

3.5.8. Dạng 8

$d$đi qua điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}:$

• Cách 1:

Gọi ${{M}_{1}}in {{d}_{1}}, {{M}_{2}}in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $M, {{M}_{1}}, {{M}_{2}}$ thẳng hàng ta tìm được ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}$.Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d$.

• Cách 2:

Gọi $left( P right)=left( {{M}_{0}},{{d}_{1}} right), left( Q right)=left( {{M}_{0}},{{d}_{2}} right).$ Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right).$ Do đó, một VTCP của $d$ có thể chọn là $overrightarrow{a}left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]$.

3.5.9. Dạng 9

$d$ nằm trong mặt phẳng $left( P right)$và cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}:$

Tìm các giao điểm $A={{d}_{1}}cap left( P right), B={{d}_{2}}cap left( P right).$

Khi đó chính là đường thẳng $AB.$

3.5.10. Dạng 10

Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$chứa $Delta $ và ${{d}_{1}},$mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $Delta $ và ${{d}_{2}}$.

Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right)$.

3.5.11. Dạng 11

$d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ chéo nhau:

• Cách 1:

Gọi ${{M}_{1}}in {{d}_{1}}, {{M}_{2}}in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $left{ begin{array}{l} MN bot {d_1}\ MN bot {d_2} end{array} right.,$

• Cách 2:

• Vì $left{ begin{array}{l} d bot {d_1}\ d bot {d_2} end{array} right.$ nên một VTCP của $d$ có thể là: .$overrightarrow a = left[ {{{overrightarrow a }_{{d_1}}},{{overrightarrow a }_{{d_2}}}} right]$
• Lập phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa$d$và ${{d}_{1}},$bằng cách:

• Lấy một điểm $A$ trên ${{d}_{1}}.$
• Một VTPT của $left( P right)$ có thể là: ${{overrightarrow{n}}_{P}}=left[ overrightarrow{a},{{overrightarrow{a}}_{{{d}_{1}}}} right]$.

• Tương tự lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ chứa $d$ và ${{d}_{2}}.$ Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right)$.

3.5.12. Dạng 12

$d$ là hình chiếu của đường thẳng $Delta $ lên mặt phẳng $left( P right)$ thì ta Lập phương trình mặt phẳng $left( Q right)$chứa $Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$bằng cách:

• Lấy $Min Delta $.
• Vì $left( Q right)$chứa $Delta $ và vuông góc với $left( P right)$nên ${{overrightarrow{n}}_{Q}}=left[ {{overrightarrow{a}}_{Delta }},{{overrightarrow{n}}_{P}} right]$.
• Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right)$.

3.5.13. Dạng 13

$d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${{d}_{1}}$ và cắt ${{d}_{2}}:$

• Cách 1:

Gọi $N$ là giao điểm của$d$ và ${{d}_{2}}.$Từ điều kiện $MNbot {{d}_{1}}$,ta tìm được $N.$ Khi đó, $d$ là đường thẳng $MN$.

• Cách 2:

• Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$qua $M$ và vuông góc với ${{d}_{1}}$
• Viết phương trình mặt phẳng $left( Q right)$chứa $M$ và ${{d}_{2}}.$
• Khi đó $d=left( P right)cap left( Q right).$

3.6. Vị trí tương đối

3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.

3.7. Khoảng cách

3.7.1. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$

• Cách 1:

Cho đường thẳng $d$ đi qua ${{M}_{0}}$ và có VTCP $overrightarrow{a}$ thì $dleft( M, d right)=frac{left| left[ overrightarrow{{{M}_{0}}M}, overrightarrow{a} right] right|}{left| overrightarrow{a} right|}$

• Cách 2:

• Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên đường thẳng $d$
• $dleft( M,d right)=MH$

• Cách 3:

• Gọi $Nleft( x,y,z right)in d$. Tính $M{{N}^{2}}$theo $t (t$ tham số trong phương trình đường thẳng $d)$
• Tìm $t$ để $M{{N}^{2}}$ nhỏ nhất.
• Khi đó $Nequiv H.$ Do đó $dleft( M, d right)=MH.$

3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$ Biết ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có VTCP ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có VTCP $overrightarrow{{{a}_{2}}}$ thì $dleft( {{d}_{1}},{{d}_{2}} right)=frac{left| left[ {{overrightarrow{a}}_{1}},{{overrightarrow{a}}_{2}} right].overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} right|}{left| left[ {{overrightarrow{a}}_{1}},{{overrightarrow{a}}_{2}} right] right|}$

Chú ý:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ bằng khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ với mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$

3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng $left( alpha right)$.

3.8. Góc

3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ lần lượt có các VTCP ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{overrightarrow{a}}_{2}}$.

Góc giữa ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{overrightarrow{a}}_{2}}$ là: $cos left( {{overrightarrow{a}}_{1}},{{overrightarrow{a}}_{2}} right)=frac{left| {{overrightarrow{a}}_{1}}.{{overrightarrow{a}}_{2}} right|}{left| {{overrightarrow{a}}_{1}} right|.left| {{overrightarrow{a}}_{2}} right|}$

3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $overrightarrow{a}=left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} right)$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ có VTPT $overrightarrow{n}=left( A,B,C right)$.

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d$’ của nó trên $left( alpha right)$ là: $sin left( widehat{d,left( alpha right)} right)=frac{left| A{{a}_{1}}+B{{a}_{2}}+C{{a}_{3}} right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}}}$

4. MẶT CẦU

4.1. Phương trình mặt cầu

4.1.1. Phương trình chính tắc

4.1.2. Phương trình tổng quát

4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

4.3. Một số bài toán liên quan

4.3.1. Dạng 1

$left( S right)$ có tâm $Ileft( a,b,c right)$ và bán kính $R$ thì $left( S right)={{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}+{{left( z-c right)}^{2}}={{R}^{2}}$

4.3.2. Dạng 2

$left( S right)$ có tâm $Ileft( a,b,c right)$ và đi qua điểm $A$ thì bán kính $R=IA$.

4.3.3. Dạng 3

$left( S right)$ nhận đoạn thẳng $AB$ cho trước làm đường kính:

• Tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng

$AB: {{x}_{1}}=frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}; {{y}_{1}}=frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}; {{z}_{1}}=frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}$

• Bán kính $R=IA=frac{AB}{2}$

4.3.4. Dạng 4

$left( S right)$ đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)

• Giả sử phương trình mặt cầu $left( S right)$ có dạng:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0 left( * right)$

• Thay lần lượt toạ độ của các điểm $A,B,C,D$ vào (*) ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được $a, b, c,d Rightarrow $ Phương trình mặt cầu $left( S right)$ .

4.3.5. Dạng 5

$left( S right)$ đi qua ba điểm $A, B, C$ và có tâm $I$ nằm trên mặt phẳng $left( P right)$ cho trước thì giải tương tự dạng 4

4.3.6. Dạng 6

$left( S right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt cầu $left( T right)$ cho trước:

• Xác định tâm I và bán kính R’ của mặt cầu ( T ) .
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính $R$ của mặt cầu $left( S right)$. (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)

Chú ý:

4.3.7. Dạng 7

Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I(a,b,c) , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) cho trước thì bán kính mặt cầu R = d(I;( P ))

4.3.8. Dạng 8

Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a,b,c) , cắt mặt phẳng ( P ) cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .

• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn $S=pi {{r}^{2}}$ hoặc chu vi đường tròn $P=2pi r$ ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến $r$.
• Tính $d=dleft( I,left( P right) right)$
• Tính bán kính mặt cầu $R=sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}$
• Kết luận phương trình mặt cầu.

4.3.9. Dạng 9

Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với một đường thẳng $Delta $ cho trước và có tâm I (a,b,c) cho trước thì đường thẳng $Delta $ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ta có R=d(I;$Delta $) .

4.3.10. Dạng 10

4.3.10. Dạng 10

4.3.11. Dạng 11

Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm $M$ thoả tính chất $left( P right)$ nào đó.

• Tìm hệ thức giữa các toạ độ $x, y,z$ của điểm $M$

${{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}+{{left( z-c right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$

• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

4.3.12. Dạng 12

Tìm tập hợp tâm mặt cầu

• Tìm toạ độ của tâm $I$, chẳng hạn: $left{ begin{array}{l} x = fleft( t right)\ y = gleft( t right)\ z = hleft( t right) end{array} right.$
• Khử $t$ trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

5.1. Dạng 1

Cho $left( P right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $Min left( P right)$ để ${{left( MA+MB right)}_{min }}$ ?

Phương pháp

• Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $left( P right)Rightarrow M, A, B$ thẳng hàng$Rightarrow M=ABcap left( P right)$
• Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $left( P right)$ thì tìm $B’$ là đối xứng của $B$ qua $left( P right)$

5.2. Dạng 2

Cho $left( P right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $Min left( P right)$ để ${{left| MA-MB right|}_{max }}$ ?

Phương pháp

• Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $left( P right)Rightarrow M, A, B$ thẳng hàng $Rightarrow M=ABcap left( P right)$
• Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $left( P right)$ thì tìm $B’$ là đối xứng của $B$ qua $left( P right)$

$Rightarrow left| MA-MB’ right|=AB’$

5.3. Dạng 3

Cho điểm $Mleft( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} right)$ không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $left( P right)$ qua $M$ và cắt 3 tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho ${{V}_{O.ABC}}$ nhỏ nhất?

Phương pháp $left( P right):frac{x}{3{{x}_{M}}}+frac{y}{3{{y}_{M}}}+frac{z}{3{{z}_{M}}}=1$

5.4. Dạng 4

Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa đường thẳng $d$ , sao cho khoảng cách từ điểm $Mnot{in }d$ đến $left( P right)$ là lớn nhất?

Phương pháp $left( P right):left{ begin{array}{l} Qua;A in d\ {overrightarrow n _{left( P right)}} = left[ {left[ {{{overrightarrow u }_d},overrightarrow {AM} } right],{{overrightarrow u }_d}} right] end{array} right.$

5.5. Dạng 5

Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ qua$A$ và cách $M$ một khảng lớn nhất ?

Phương pháp $left( P right):left{ begin{array}{l} Qua;A\ {overrightarrow n _{left( P right)}} = overrightarrow {AM} end{array} right.$

5.6. Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ chứa đường thẳng $d$, sao cho $left( P right)$ tạo với $Delta $ ($Delta $ không song song với $d$) một góc lớn nhất là lớn nhất ?

Phương pháp $left( P right):left{ begin{array}{l} Qua;A in d\ {overrightarrow n _{left( P right)}} = left[ {left[ {{{overrightarrow u }_d},overrightarrow {AM} } right],{{overrightarrow u }_d}} right] end{array} right.$

5.7. Dạng 7

Cho $Delta //left( P right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ nằm trong $left( P right)$ song song với $Delta $ và cách $Delta $ một khoảng nhỏ nhất ?

Phương pháp

Lấy $Ain Delta $ , gọi $A’$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $left( P right)$ thì $d:left{ begin{array}{l} Qua;A’\ {overrightarrow u _d} = {overrightarrow u _Delta } end{array} right.$

5.8. Dạng 8

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $left( P right)$cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là lớn nhất ($AM$ không vuông góc với $left( P right)$ ?

Phương pháp $d:left{ begin{array}{l} Qua;A in d\ {overrightarrow u _d} = left[ {{{overrightarrow n }_{left( P right)}},overrightarrow {AM} } right] end{array} right.$

5.9. Dạng 9

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $left( P right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là nhỏ nhất ($AM$ không vuông góc với $left( P right)$ ?

Phương pháp $d:;left{ begin{array}{l} Qua;A in d\ {overrightarrow u _d} = left[ {left[ {{{overrightarrow n }_{left( P right)}},overrightarrow {AM} } right],{{overrightarrow n }_{left( P right)}}} right] end{array} right.$

5.10. Dạng 10

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $Ain left( P right)$ cho trước, sao cho $d$ nằm trong $left( P right)$và tạo với đường thẳng $Delta $ một góc nhỏ nhất ($Delta $ cắt nhưng không vuông góc với $left( P right)$)?

Phương pháp

$d:;left{ begin{array}{l} Qua;A in d\ {overrightarrow u _d} = left[ {left[ {{{overrightarrow n }_{left( P right)}},overrightarrow {AM} } right],{{overrightarrow n }_{left( P right)}}} right] end{array} right.$