Bài tập hệ thức lượng trong tam giác (có lời giải) – Toán 9

Tiếp sau bài viết Các hệ thức lượng trong tam giác vuông, các bạn đã phần nào nắm được các hệ thức quan trọng liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

#Nhắc lại: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, ta có các hệ thức sau:

• b² = ab’ ; c² = ac’
• h² = b’c’
• ah = bc
• b² + c² = a² (Định lí Pytago)
• 1/h² = 1/b² +1/c²

Như vậy, để làm được các dạng bài tập liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta phải nắm chắc các công thức trên.

Xem thêm

Bài 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngBài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnBài 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Dạng 1: Tìm độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Bài 1. Tìm x, y trên hình vẽ

Giải.

Ta xác định x, y ở trên hình là độ dài hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Mà ta có thể tính được cạnh huyền dựa vào Py-ta-go.

6² + 8² = 100

suy ra cạnh huyền = 10.

Ta nhớ lại công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học mà liên quan đến hình chiếu và cạnh góc vuông:

b² = ab’ tức là 6² = 10x suy ra x = 3,6

c² = ac’ tức là 8² = 10y suy ra y = 6,4

Bài 2. Tìm x, y trên hình vẽ

Giải. x, y trên hình vẽ là hai cạnh góc vuông.

Tương tự như ví dụ 1, ta tìm cạnh huyền của tam giác vuông đang xét.

Cạnh huyền = 1 + 4 = 5

Ta tiếp tục dùng công thức liên quan đến hình chiếu và cạnh góc vuông, cạnh huyền:

b² = ab’ tức là x² = 1.5 suy ra x = √5

c² = ac’ tức là y² = 4.5 suy ra y = √20 = 2√5

Bài 3. Tìm x, y trên hình vẽ

Giải.

Đầu tiên ta kiểm tra thấy có thể tính ngay cạnh góc vuông AB dựa vào Định lí Py-ta-go:

AB² = BH² + AH² = 1² + 2² = 5

suy ra AB = √5

Tính được AB rồi, ta có AB² = AH.AC nên suy ra AC = AB²/ AH = 5/1 = 5

Mà AH + x = AC nên x = AC – AH = 5 – 1 = 4

Tính được x thì ta có hai cách để tính y.

Cách 1: Ta dùng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông BHC.

y² = BH² + x² = 2² + 4² =20

suy ra y = √20 = 2√5

Cách 2: Ta có thể áp dụng hệ thức lượng y² = x.AC = 5.4 = 20 suy ra y =√20 = 2√5.

Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.

Giải.

a) Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 3²/5 = 9/5 cm

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 16/5 cm

Tính AH dựa vào hệ thức h² = b’.c’ tức là AH² = BH.CH = 144/25 suy ra AH = 12/5 cm

Bài 5.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC.

b) Kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Tính độ dài đoạn thẳng HD.

Giải.

a)

Ta gọi AB = 3k, AC = 4k. Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

AB² + AC² = BC² suy ra 9k² + 16k² = 15²

suy ra k² = 15²/25= 9 vậy k = 3.

Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính BH, CH.

Ta có AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 27/5 cm

AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 48/5 cm

b)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

(áp dụng dãy tỉ lệ thức bằng nhau)

suy ra BD = AB.5/7 = 45/7 cm.

HD = BD – BH = 45/7 – 27/5 = 36/35 cm

Bài tập tự luyện (có đáp số)

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC (H ∈ BC). Cho BH = 4 cm, AC = 3√3 cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng HC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Đáp số: a) HC = 9 cm

b) Diện tích tam giác ABC = 39 cm²

Bài 7. Cho tam giác ABC biết BC = 7,5 cm, AC = 4,5 cm, AB = 6 cm.

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC

b) Tính độ dài BH, CH

Đáp số: a) AH = 3,6 cm; b) BH = 4,8cm; CH = 2,7 cm

Bài 8. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính diện tích hai tam giác vuông tạo thành.

Đáp số: 6,5856 đvdt; 77,4144 đvdt

Bài 9. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC. Biết AB = 12 cm, DC = 25 cm. Tính đọ dài AB, BC và BD.

Đáp số: AB = 9cm, BC = 20 cm, BD = 15 cm

Hoặc AB = 16 cm, BC = 15 cm, BD = 20 cm

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc BC (H thuộc BC). Cho biết AB = 2√5 cm; CH = 4BH.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH

b) Diện tích tam giác ABC

Đáp số: a) BH = 2 cm, CH = 8 cm

b) Diện tích tam giác ABC = 20 cm²

Xem thêm:

Bài 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngBài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnBài 3: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

✅Trang Toán 9 để học các nội dung khác

Nếu có ý kiến hay thắc mắc gì về chủ đề này, bạn hãy bình luận dưới bài viết để được giải đáp sớm nhất có thể nhé!

Chúc bạn học tốt!