Bài viết dưới đây trong nội dung toán lớp 9, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng một cách chi tiết qua các ví dụ minh họa.
I. Cách giải Bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2.
• (d1) cắt (d2) nếu a1 ≠ a2.
• (d1) // (d2) nếu a1 = a2 và b1 ≠ b2.
• (d1) ≡ (d2) nếu a1 = a2 và b1 = b2.
* Lưu ý: Nếu a1.a2 = -1 thì (d1) vuông góc với (d2)
II. Một số dạng bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
º Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
* Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) y = 2x + 3 và y = -3x – 5
b) y = 5x – 3 và y = 5x + 7
c) y = -2x – 1 và y = (1/2)x + 1
* Lời giải:
a) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hệ số góc k1 = 2
Đồ thị hàm số y = -3x – 5 có hệ số góc k2 = -3
Vì k1 ≠ k2 nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.
b) Đồ thị hàm số y = 5x – 3 có hệ số góc k1 = 5
Đồ thị hàm số y = 5x + 7 có hệ số góc k2 = 5
Vì k1 = k2 nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau.
c) Đồ thị hàm số y = -2x – 1 có hệ số góc k1 = -2
Đồ thị hàm số y = (1/2)x + 1 có hệ số góc k2 = 1/2
Vì k1 ≠ k2 nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.
Hơn nữa k1.k2 = (-2).(1/2) = -1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
* Bài tập 2: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3:
a) Song song
b) Vuông góc.
* Lời giải:
a) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 song song
⇔ m + 1 = 2m – 1
⇔ m = 2.
Vậy m = 2.
b) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 vuông góc
⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1
⇔ 2m2 + m – 1 = -1
⇔ 2m2 + m = 0
⇔ m(2m + 1) = 0
⇔ m = 0 hoặc 2m + 1 = 0
⇔ m = 0 hoặc m = -1/2
Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.
º Dạng 2: Viết (tìm) phương trình đường thẳng
* Bài tập 1: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1 và đi qua A(2; 1).
* Lời giải:
a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.
Vì (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 ⇒ a = 3.
Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 (tức x = 0 và y = 5) ⇒ b = 5.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = 3x + 5.
b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d’): y = kx + m
Vì (d’) vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1
⇒ k.(1/2) = -1 ⇒ k = -2
khi đó (d’) có dạng: y = -2x + m
Vì (d’) đi qua A(2; 1) nên ta có: 1 = -2.2 + m ⇒ m = 5.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = -2x + 5.
* Bài tập 2: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M(-1; 2) và vuông góc với d.
* Lời giải:
– Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m
Vì (d’) vuông góc với (d) nên ta có: k.(-2) = -1 ⇒ k = 1/2 .
Vì (d’) đi qua M(-1; 2) nên ta có: 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .
Vậy đường thẳng cần tìm là y = (1/2)x + 5/2
* Bài tập 3: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 1 và điểm M(1;1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).
* Lời giải:
– Ta cần tìm đường thẳng d’: y = kx + m qua M và vuông góc với d:
Vì (d’) vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .
Vì (d’) đi qua M(1;1) ⇔ 1 = (-1/2).1 + m ⇔ m = 3/2 .
Vậy d’: y = -1/2x + 3/2 .
+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’
Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:
2x + 1 = -1/2x + 3/2 ⇔ x = 1/5 ⇒ y = 7/5 .
Vậy hình chiếu của M trên d là H (1/5; 7/5).
º Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m
> Phương pháp giải:
– Gọi M(x0;y0) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M(x0;y0) thỏa mãn phương trình đường thẳng dd.
– Đưa phương trình đường thẳng dd về phương trình bậc nhất ẩn m.
– Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0 luôn đúng thì a=b=0
– Giải điều kiện ta tìm được x0 và y0. Khi đó M(x0;y0) là điểm cố định cần tìm.
* Bài tập 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm cố định.
* Lời giải:
– Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:
⇔ y0 = (m + 1)x0 + 2×0 – m, ∀m
⇔ y0 = mx0 + x0 + 2×0 – m, ∀m
⇔ y0 – mx0 – 3×0 – m = 0, ∀m
⇔ m(-x0 – 1) + (y0 – 3×0) = 0, ∀m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)
* Bài tập 2: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.
* Lời giải:
– Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:
y0 = (2m – 3)x0 + m – 1, với mọi m
⇔ y0 = 2mx0 – 3×0 + m – 1, với mọi m
⇔ y0 – 2mx0 – 3×0 + m – 1 = 0, với mọi m
⇔ m(-2×0 + 1) + (y0 – 3×0 – 1) = 0, với mọi m
Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1/2; 5/2).
