Các dạng toán về căn bậc 2, căn bậc 3 và cách giải – toán lớp 9
Để giải các dạng bài tập về căn bậc 2, căn bậc 3 thì các em cần nắm vững phần nội dung lý thuyết cùng các dạng bài tập về căn bậc 2 và bậc 3. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các dạng toán về căn bậc 2 và căn bậc 3 thường gặp để các em có thể nắm vững nội dung này.
A. Kiến thức cần nhớ về căn bậc 2 căn bậc 3
I. Căn bậc 2
1. Căn bậc 2 là gì?
– Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x2 = a.
– Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là , số âm kí hiệu là .
– Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
– Với số dương a, số là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0.
2. Tính chất của căn thức bậc 2
a) có nghĩa khi A ≥0.
b)
c)
d)
3. Các phép biến đổi căn thức bậc 2 cơ bản
a)
•
•
b)
c)
d)
e)
f)
II. Căn bậc 3
1. Căn bậc là gì?
– Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a.
2. Tính chất của căn bậc 3
– Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.
•
•
• 
B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3
• Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa
* Phương pháp
có nghĩa khi A ≥0.
có nghĩa khi A>0
– Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến
Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa
1.
* Hướng dẫn: có nghĩa khi (5-2x)≥0
⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤
2.
* Hướng dẫn: có nghĩa khi (3x-12)≥0
⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4
3.
* Hướng dẫn: có nghĩa khi x2 > 0 ⇔ x > 0
4.
* Hướng dẫn: căn thức có nghĩa khi
⇔ 3x – 6 < 0 ⇔ x < 2
• Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức
* Phương pháp
– Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn:
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
1.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
vì
2.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
– Vì
• Dạng 3: Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức
* Phương pháp
– Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
1.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
=
2.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
• Dạng 4: Giải phương trình có chứa căn thức
+ Dạng: (nếu B>0).
+ Dạng: (nếu B là một biểu thức chứa biến)
+ Dạng:
+ Dạng: , ta đưa về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
° Trường hợp 1: Nếu B là một số dương thì:
° Trường hợp 2: Nế B là một biểu thức chứa biến thì:
Ví dụ: Giải phương trình sau
1.
* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 0
– Kết luận: x=4 là nghiệm
2.
* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 1, ta có
• Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức
* Phương pháp:
– Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2
– Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B
+ Chứng minh A = C và B = C
+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)
* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức
1.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
=
– Vậy ta có điều cần chứng minh
2.
* Hướng dẫn:
– Ta có:
– Thay vào vết trái ta có:
– Ta được điều cần chứng minh.
C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3
* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:
a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47
* Lời giải bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 ⇒ √4 > √3 (Định lý)
– Kết luận:
b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41
– Kết luận:
c) Ta có: 7 = √49 mà 49 > 47 ⇒ √49 > √47
– Kết luận:
* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:
a) b)
c) d)
* Lời giải bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1:
– Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.
a)
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 152 ⇔ x = 225
– Kết luận: x = 225
b) ⇔
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 72 ⇔ x = 49
– Kết luận: x = 49
c)
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2
– Kết luận: 0 ≤ x < 2
d)
– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8
– Kết luận: 0 ≤ x < 8
* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) b) c) d)
* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Điều kiện xác định cả là
b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0
c) Tương tự: 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 = > a ≤ 4
d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.
* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:
a) b) c) d)
* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)
c) với a≥0. d) với a<2.
* Lời giải bài 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:
a) (vì do )
b) (vì √11 – 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)
c) 2√a2 = 2|a| = 2a với a ≥ 0
d) (vì a < 2 nên 2 – a > 0)
* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:
a) b) c) d)
* Lời giải bài 9 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:
a)
b)
c)
d)
* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:
a)
b)
* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Ta có: VT = (√3 – 1)2 = (√3)2 – 2√3 + 1 = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3 = VP
⇒ (√3 – 1)2 = 4 – 2√3 (đpcm)
b) Ta có:
= VP (đpcm).
* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:
a) x2 – 3. b) x2 – 6 c) x2 + 2√3 x + 3. d) x2 – 2√5 x + 5
* Lời giải bài 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:
a) x2 – 3 = x2 – (√3)2 = (x – √3)(x + √3)
b) x2 – 6 = x2 – (√6)2 = (x – √6)(x + √6)
c) x2 + 2√3.x + 3 = x2 + 2√3.x + (√3)2 = (x + √3)2
d) x2 – 2√5.x + 5 = x2 – 2√5.x + (√5)2 = (x – √5)2
* Bài 67 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tìm ; ; ; ;
* Lời giải bài 67 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:
– Ta có:
– Ta có:
– Ta có:
– Ta có:
– Ta có:
* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729;
* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính
a)
b)
* Lời giải bài 68 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:
a)
b)
* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh
a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.
* Lời giải bài 69 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:
a) Ta có: > ⇒
b) Ta có: ;
– Vì ⇒ 5∛6 < 6∛5
D. Bài tập luyện tập căn bậc 2 căn bậc 3
Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
a) b)
c) d)
Bài tập 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
a) b) c)
Bài tập 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Bài tập 4: Thực hiện các phép tính sau
a) b)
c)
d)
Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b) ,
c)
d)
Bài tập 6: Giải các phương trình sau
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
Theo dõi chúng tôi www.hql-neu.edu.vn để có thêm nhiều thông tin bổ ích nhé!!!
