Cách giải phương trình bậc hai cực hay và cách nhẩm nghiệm

Một cách tuyệt vời để giải phương trình bậc hai và một cách nhanh chóng để giải chúng

Lý thuyết về phương trình bậc hai cũng như cách giải phương trình bậc hai đã được học trong chương trình Toán 9, Đại số. Nhằm giúp các em nắm vững hơn những kiến ​​thức cần nhớ về chuyên đề Toán 9 quan trọng này, bài viết dưới đây trường ĐH KD & CN Hà Nội có những chia sẻ. Bạn tìm hiểu xem!

I. LÝ THUYẾT VỀ phương trình bậc hai

1. Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Với

• x là ẩn số
• a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
• a, b, c là các hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi các hệ số của x lần lượt là (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc nhất, c là hằng số hoặc số hạng tự do). ).

2. Ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ.

a) 2x² + 5x + 3 = 0

Trong phương trình này: các hệ số a = 2, b = 5, c = 3. Đây là phương trình bậc hai với một ẩn số.

b) x² – 3x = 0

Phương trình hơi khác một chút:+ Hệ số ở đâu? a = 1 và chúng ta không cần viết “1.x²”+ Hệ số b = – 3Và c là gì bằng? c = 0 nên không cần viết.

Phương trình trên là một ẩn số bậc hai.

c) – x² = 0

Các hệ số a = – 1, b = c = 0. Đây là một phương trình bậc hai chưa biết.

II. LÀM THẾ NÀO ĐỂ GIẢI MỘT phương trình bậc hai LỚN

Phương pháp 1: Nhân tố bên trái của phương trình

Ví dụ:

x² – 3x – 4 = 0

⇔ x² + x – 4x – 4 = 0

⇔ x (x + 1) – 4 (x – 4) = 0

(x + 1) (x – 4) = 0

⇔ x = −1 hoặc x = 4.

Phương pháp 2: Tạo một hình vuông bằng cách cộng và trừ

Ví dụ: x² + 4x – 5 = 0

⇔ x² + 2.2.x + 2² – 9 = 0 (vì 5 = 4 – 9)

(x + 2) ² = 9

⇔ x + 2 = – 3 hoặc x + 2 = 3

⇔ x = – 5 hoặc x = 1.

Các phương pháp trên không thể áp dụng cho tất cả các phương trình.

VẬY, có cách nào để giải bất phương trình bậc hai không?

Câu trả lời là CÓ theo cách sau:

Phương pháp 3: Áp dụng công thức kiểm tra.

Chúng ta có một công thức nghiệm tổng quát để giải bất phương trình bậc hai. Chi tiết như sau.

TỶ LỆ THỦ TỤC CHUNG

Bước 1: Tính Δ = b² – 4ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ.

• Nếu Δ> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• Nếu = 0 thì phương trình có một nghiệm kép (hai nghiệm giống nhau).

• Nếu

Thay các hệ số a, b, c vào công thức rồi tính.

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau:

3x² + 5x – 1 = 0

Ta có: a = 3, b = 5, c = – 1.

Δ ‘= b² – ac = 5² – 4.3. (- 1) = 25 + 12 = 37> 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu trong trường hợp b chẵn thì ta có thể đặt b = 2b ‘và áp dụng công thức sau để giải phương trình bậc hai.

Công thức kiểm tra đơn giản

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau:

5x² + 4x – 1 = 0

Phần thưởng: Ta có: a = 5, b ‘= 2, c = – 1.

Δ ‘= b’² – ac = 2² – 5. (- 1) = 9> 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Phương pháp 4: Giải phương trình bậc hai bằng máy tính bỏ túi

Cách bấm máy tính bỏ túi CASIO FX570 để giải phương trình bậc hai như sau:

Bước 1: Chọn lệnh giải phương trình bậc hai 2 ẩn số [“MODE” “5” “1”]. Chọn lệnh để giải phương trình bậc hai 2 ẩn như trên màn hình

Bước 2: Khai báo các hệ số của phương trình, các hệ số cách nhau bằng dấu “=”

Bước 3: Bấm “=” để xem kết quả. Có 4 trường hợp:

• Phương trình 1 nghiệm (x)
• Phương trình 2 nghiệm (x và y)
• Phương trình vô nghiệm
• Giải pháp Vô hạn.

III. CÁCH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bắt đầu từ định lý Viet, ta có các phép tính nhẩm sau:

Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Sản phẩm

Nếu phương trình có dạng x2 – (u + v) x + uv = 0 thì phương trình có hai nhiệm vụ u và v.

Nếu phương trình có dạng x2 + (u + v) x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v.

Bản tóm tắt:

• x2 – (u + v) x + uv = 0 => xĐầu tiên = u, x2 = v (1)
• x2 + (u + v) x + uv = 0 => xĐầu tiên = -u, x2 = -v

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép tính nhẩm: “Phân tích hệ số của tích c và b thành tổng”. Trong hai phép toán đó, trước hết ta nên tính hệ số c rồi kết hợp với b để tìm hai số thỏa mãn tích của c và tổng của b.

Khi bạn tiếp tục, hãy nhẩm nhẩm những điều sau: Tích của hai nghiệm là c, nhưng tổng là b.

Ví dụ về phương trình:

x2 – 5x + 6 = 0Tinh thần: “Tích của hai nghiệm là 6, nhưng tổng là 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2 × 3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x2 – 7x + 10 = 0Tinh thần: “Tích của hai nghiệm là 10, nhưng tổng là 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2 × 5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x2 – (u + v) x + uv = 0 => xĐầu tiên = u, x2 = v (1)

• Nếu thay v = 1 vào (1), chúng ta sẽ có nghiệm nhẩm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = – (u + 1), c = u.
• Nếu bạn thay v = -1 vào (1), bạn sẽ có trường hợp a – b + c = 0, với a = 1, b = – (u-1), c = -u.

Vì loại này quá quen thuộc và thông dụng nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Loại 1 và Loại 3.

Dạng 3: Hai nghiệm nghịch biến của nhau

Nếu u 0 và v = Đầu tiên/u Khi đó phương trình (1) có dạng:

Khi đó: Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x = u, x = Đầu tiên/u. Đây cũng là trường hợp thường gặp khi giải toán. Ví dụ về phương trình:

Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội

Chuyên mục: Kiến thức chung