Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị
Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
A. Phương pháp giải
Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng tính chất
Với mọi x, y ∈ Q, ta có
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≥ |x| – |y|
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1
Lời giải:
A = |x + 1001| + 1
Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x
Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x
Do đó A ≥ 1 ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 – |5x + 3|
Lời giải:
B = 5 – |5x + 3|
Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x
⇒ 5 – |5x + 3| ≤ 5 ∀ x
Suy ra B ≤ 5 ∀ x
Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|
Lời giải:
C = |x – 1| + |x – 2019|
= |x – 1| + |-(x – 2019)| (vì |a| = |-a|)
= |x – 1| + |2019 – x|
Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| (theo tính chất ở phần lý thuyết)
Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018
Suy ra C ≥ 2018
Vậy GTNN của C là 2018
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| – |x – 3000|
Lời giải:
D = |x + 5000| – |x – 3000| ≤ |x + 5000 – (x – 3000)| (áp dụng tính chất ở phần lý thuyết)
Vì | x + 5000 – (x – 3000)| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000
Suy ra D ≤ 8000
Vậy GTLN của D là 8000.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 – |1,4 – x|
A. – 2
B. -3,4
C. 2
D. -1
Lời giải:
A = -2 – |1,4 – x|
Vì |1,4 – x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 – x| ≤ 0 ∀ x
⇒ – 2 -|1,4 – x| ≤ – 2 – 0 = -2 ∀ x
Do đó A ≤ – 2 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 1,4 – x = 0 ⇒ x = 1,4
Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4.
Đáp án A
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là
A. 5
B. 0
C. 10
D. 15
Lời giải:
Vì |x – 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x
Suy ra H ≥ 10 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5.
Đáp án C
Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức là
Lời giải:
Vì |x – 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x
(lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu)
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0, hay x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của N là khi x = 2.
Đáp án B
Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| – 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi
Lời giải:
Vì |3x – 1| ≥ 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| – 4 ≥ 0 – 4 = -4 ∀ x
Do đó K ≥ – 4 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = .
Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = .
Đáp án C
Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Đáp án B
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x – 1| + 4
A. 0
B. 4
C. 5
D. 10
Lời giải:
Ta có: |x – 1| = |-(x – 1)| = | 1 – x| (vì |a| = |-a|)
Khi đó N = |x + 5| + |1 – x| + 4
Vì |x + 5| + |1 – x| ≥ |x + 5 + 1 – x| = |6| = 6
Do đó N = |x + 5| + |x – 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10
Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10
Đáp án D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách tìm cơ số, số mũ của lũy thừa của một số hữu tỉ cực hay, chi tiết
- Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách so sánh hai lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách tính biểu thức có lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách lập tỉ lệ thức từ các số đã cho cực hay, chi tiết
Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều
Săn SALE shopee tháng 6-6:
- Unilever mua 1 tặng 1
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà:
Theo dõi chúng tôi www.hql-neu.edu.vn để có thêm nhiều thông tin bổ ích nhé!!!