Cách tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ – Hoctoan24h.net

Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì các bạn sử dụng chung một công thức:

$left(dfrac{u}{v}right)’=dfrac{u’.v-u.v’}{v^2}$

Một số dạng đặc biệt của hàm phân thức:

$ left (dfrac{1}{x}right)’=dfrac{-1}{x^2}$; $ left (dfrac{1}{u}right)’=dfrac{-u’}{u^2}$

Tuy nhiên cũng có một số hàm phân thức chúng ta có thể sử dụng những công thức tính đạo hàm nhanh. Thầy sẽ nói cụ thể trong từng dạng bên dưới nhé.

Các em xem thêm bài giảng:

• Cách tính đạo hàm của hàm căn thức
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
• Cách tính đạo hàm của hàm lượng giác
• Cách tính đạo hàm của hàm số logarit

1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y=dfrac{ax+b}{cx+d}$

Công thức tính nhanh đạo hàm: $y’=dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac{2x+3}{4x+2}$ b. $y=dfrac{-x-2}{2x+5}$

Hướng dẫn:

a. $y=dfrac{2x+3}{4x+2}$

=> $y’=dfrac{(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’}{(4x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{2(2x+2)-(2x+3).4}{(4x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{8x+4-8x-12}{(4x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac{2.2-3.4}{(4x+2)^2}$ => $y’=dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

b. $y=dfrac{-x-2}{2x+5}$

=> $y’=dfrac{(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’}{(2x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{-1.(2x+5)-(-x-2).2}{(2x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{-2x-5+2x+4}{(2x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

Sử dụng công thức nhanh tính đạo hàm:

$y= dfrac{-x-2}{2x+5}$ => $y’=dfrac{(-1).5-(-2).2}{(2x+5)^2}=dfrac{-5+4}{(2x+5)^2}=dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y=dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$

Công thức tính nhanh đạo hàm: $y=dfrac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac{x^2+2x+3}{4x+5}$b. $y=dfrac{2x^2+3x-4}{-5x+6}$

Hướng dẫn:

a. $y’=dfrac{(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’}{(4x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4}{(4x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{8x^2+18x+10-4x^2-8x-12}{(4x+5)^2}$

=> $y’=dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

Sử dụng công thức giải nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac{1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4}{(4x+5)^2}=dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

b. $y’=dfrac{(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=dfrac{(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=dfrac{-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=dfrac{-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac{2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)}{(-5x+6)^2}=dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$y=dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$

Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

=> $y’=dfrac{(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1}{(a_2x^2+b_2x+c_2)^2}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:a. $y=dfrac{x^2+x-2}{-x^2+3x+2}$

Ta có:

$y’=dfrac{(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh đạo hàm:

$y’=dfrac{[1.3-1.(-1)]x^2+2[1.2-(-2)(-1)]x+[1.2-(-2).3]}{ (-x^2+3x+2)^2 }$

=> $y’=dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

4. Một số trường hợp đặc biệt khi tính đạo hàm của hàm phân thức

Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:a. $y=dfrac{2}{x^2-2x+3}$b. $y=left(dfrac{x+2}{3x-1}right)^3$

Hướng dẫn:

a. $y’=dfrac{-2.(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3)^2}=dfrac{-2(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}$

b. $y’=3.left(dfrac{x+2}{3x-1}right)^2left(dfrac{x+2}{3x-1}right)’= 3.left(dfrac{x+2}{3x-1}right)^2.dfrac{-7}{(3x-1)^2} $

(ý này các bạn áp dụng công thức đạo hàm $u^{alpha}=alpha.u^{alpha-1}.u’$ nhé)

Bài giảng trên cũng khá chi tiết và đầy đủ về các dạng toán tính đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ. Nói chúng để tính được đạo hàm dạng này thì các bạn chỉ cần sử dụng chung duy nhất một công thức $(dfrac{u}{v})’$ là có thể tính thoải mái rồi. Nếu các bạn có thêm công thức tính nào hay thì hãy chia sẻ dưới khung bình luận nhé.