Tìm tọa độ trọng tâm tam giác trong mặt phẳng Oxy – Hoctoan24h.net

Trọng tâm tam giác là một điểm có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán tam giác. Hôm nay thầy sẽ chia sẻ với các bạn về cách tìm tọa độ trọng tâm trong tam giác, công thức tìm tọa độ trọng tâm, tính chất của trọng tâm…và một số bài toán liên quan tới trọng tâm trong tâm giác.

Trọng tâm tam giác là gì? Câu trả lời thầy đã viết rất chi tiết trong một bài giảng rồi. Các bạn muốn hiểu hơn về khái niệm cũng như tính chất của trọng tâm thì xem thêm bài giảng này nhé: Trọng tâm của tam giác là gì?

Nếu đã hiểu rõ trọng tâm của tam giác là gì rồi thì ngay bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu về công thức tìm tọa độ trọng tâm trong tam giác và một số bài toán liên quan tới tọng tâm.

Công thức tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với $A(x_A;y_A)$; $B(x_B;y_B)$ và $C(x_C;y_C)$. Gọi $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ của trọng tâm G là:

$left{begin{array}{ll}x_G=dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\y_G=dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}end{array}right.$

Như vậy công thức trên là một cách sẽ giúp chúng ta tìm được tọa độ trọng tâm. Bên cạnh đó công thức trên cũng giúp chúng ta giải quyết một số bài toán tìm tọa độ đỉnh của tam giác, viết phương trình đường trung tuyến hay phương trình đường trung bình trong tam giác. Cũng có thể là bài toán liên quan tới trung điểm một cạnh của tam giác.

Xem thêm bài giảng:

• Tổng hợp tất tần tật lý thuyết vectơ hình học lớp 10
• 15 bài toán liên quan tới viết phương trình đường cao trong tam giác
• Viết phương trình các cạnh của tam giác biết hai đường cao
• Trực tâm của tam giác là gì?

Bài tập tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết $A(1;-2)$, $B(2;1)$ và $C(-1;4)$.

a. Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b. Tính khoảng cách từ trọng tâm G tới mỗi đỉnh.

Hướng dẫn:

a Dựa theo công thức trọng tâm thầy nêu ở trên thì chúng ta nhanh chóng tìm được tọa độ của điểm G là:

$left{begin{array}{ll}x_G=dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\y_G=dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_G=dfrac{1+2-1}{3}\y_G=dfrac{-2+1+4}{3}end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_G=dfrac{2}{3}\y_G=1end{array}right.$

Vậy tọa độ của điểm G là: $G( dfrac{2}{3} ;1)$

b. Khoảng cách từ trọng tâm G tới mỗi đỉnh chính là độ dài các đoạn GA, GB và GC hay thực chất là độ dài của các vectơ $vec{GA}$; $vec{GB}$ và $vec{GC}$

Ta có:

$vec{GA}=(dfrac{1}{3};-3)$ => $GA=sqrt{(dfrac{1}{3})^2+(-3)^2}=dfrac{sqrt{82}}{3}$

$vec{GB}=(dfrac{4}{3};0)$ => $GA=sqrt{(dfrac{4}{3})^2+(0)^2}=dfrac{sqrt{4}}{3}$

$vec{GC}=(dfrac{-5}{3};3)$ => $GA=sqrt{(dfrac{-5}{3})^2+(3)^2}=dfrac{sqrt{106}}{3}$

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A(-2;2)$; $B(4;5)$ và trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ $G(1;2)$. Hãy tìm tọa độ của điểm C.

Hướng dẫn:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$left{begin{array}{ll}x_G=dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\y_G=dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_C=3x_G-x_A-x_B\y_C=3y_G-y_A-y_Bend{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_C=3.1-(-2)-4\y_C=3.2-2-5end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll}x_C=1\y_C=-1end{array}right.$

Vậy tọa độ của đỉnh C là: $C(1;-1)$

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là: $5x-y-7=0$, phương trình cạnh AC là: $3x+y-9=0$, điểm $M(2;-1)$ là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Phân tích:

Từ phương trình của cạnh AB và AC ta sẽ tìm được tọa độ của điểm A là giao của 2 đường thẳng AB và AC.

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác. Mà G là trọng tâm tam giác nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có: $vec{AG}=2vec{GM}$

Trình bày:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll} 5x-y-7=0 \ 3x+y-9=0 end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll} x=2 \y=3 end{array}right.$

Vậy tọa độ điểm A là: $A(2;3)$

Gọi tọa độ của điểm G là: $G(x_G;y_G)$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC nên ta có:

$vec{AG}=2vec{GM}$ với $vec{AG}(x_G-2;y_G-3)$ và $vec{GM}(2-x_G;-1-y_G)$

<=> $(x_G-2;y_G-3)=2(2-x_G;-1-y_G)$

<=> $(x_G-2;y_G-3)=(4-2x_G;-2-2y_G)$

<=> $left{begin{array}{ll} x_G-2=4-2x_G \y_G-3=-2-2y_G end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll} 3x_G=6 \3y_G=1 end{array}right.$

<=> $left{begin{array}{ll} x_G=2 \y_G=dfrac{1}{3} end{array}right.$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G(2;dfrac{1}{3})$