Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Cho hai điểm A(xA; yA) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
⇒ (d) : đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB.
⇒ phương trình đường thẳng (d):
⇒ Phương trình đường thẳng d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(4; -1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.
A. x – y – 1 = 0 B. 2x – 3y + 1 = 0 C. 2x + 3y – 5 = 0 D. 3x – 2y – 1 = 0
Lời giải
+ Gọi M trung điểm của AB. Tọa độ của M là :
⇒ M( 1; 1)
+ Ta có AB→ = (6; -4) = 2(3; -2)
+ Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M( 1; 1) và nhận n→ = (3; -2) làm VTPT.
Phương trình (d): 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0
Hay (d): 3x – 2y – 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho điểm A( 1; -3) và B( 3; 5) . Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
A. x – 2y + 1 = 0 B. x + 4y – 4 = 0 C. x – 4y – 6 =0 D. 2x – 8y + 7 = 0
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ của M là :
⇒ M( 2; 1)
Gọi d là đường trung trực của AB .
( d) :
⇒ Phương trình tổng quát của AB:
2(x – 2) + 8(y – 1) = 0 ⇔ 2x – 8y – 12 = 0
Hay ( d) : x – 4y – 6 = 0
Chọn C.
Ví dụ 3. Đường trung trực của đoạn AB với A(1 ; -4) và B( 5 ; 2) có phương trình là:
A. 2x + 3y – 3 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. 3x – y + 4 = 0 D. x + y – 1 = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( 3 ;-1)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
4( x – 3) + 6( y + 1) = 0 hay 4x + 6y – 6 = 0 ⇔ 2x + 3y – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4. Đường trung trực của đoạn AB với A( 4 ;-1) và B( 1 ; -4) có phương trình là:
A. x + y – 1 = 0 B. x + y = 0 C. x – y = 1 D. x – y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( ; – )
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
– 3(x – ) – 3( y + ) = 0 hay x + y = 0
Chọn B.
Ví dụ 5. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; – 4) và B(1; 2) có phương trình là:
A. y + 1 = 0 B. x + 1 = 0 C. y – 1 = 0 D. x – 4y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I(1 ; -1)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
0(x – 1) + 6(y + 1) = 0 hay y + 1 = 0
Chọn A.
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(1 ; 2) là trung điểm của BC và B(-2 ; 2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + y – 3 = 0 B. x – y + 1 = 0 C. 2x – y = 0 D. x – 1 = 0
Lời giải
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 3(x – 1) + 0(y – 2) = 0 hay x – 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có phương trình BC : x + 2y – 3 = 0 ; đường trung tuyến BM : 4x – y – 3 = 0 và đường phân giác CK : 2x – y – 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x – y – = 0 B. 2x + y + = 0 C. 2x – y – = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(1 ; 1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(3 ;0)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(2 ; )
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) :
⇒ Phương trình d : 2(x – 2) – 1(y – ) = 0 hay 2x – y – = 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho điểm A(1 ; 0) ; điểm B(m – 1 ; 2m + 1). Phương trình đường trung trực của AB là (d) x – y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m = B. m = – C. m = 2 D. m =
Lời giải
+ Đường thẳng d có VTPT là n→( 1 ; -1) .
+ vecto AB→( m – 2 ; 2m + 1).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ – m + 2 = 2m + 1
⇔ – 3m = – 1 nên m =
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; -4) và B( 3 ; -4) có phương trình là :
A. y + 4 = 0 B. x + y – 2 = 0 C. x – 2 = 0 D. y – 4 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I( 2 ; -4)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x – 2) + 0( y + 4) = 0 hay x – 2 = 0
Câu 2: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; -3) và B(6 ; 7) có phương trình là:
A.2x + 5y – 18 = 0 B. 2x – 5y + 1 =0 C. 2x – 5y -1 = 0 D. 2x + 5y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : ⇒ I(4 ; 2)
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x – 4) + 5(y – 2) = 0 hay 2x + 5y – 18 = 0
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(2 ; – 4) là trung điểm của BC và B(1 ;3). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + 7y – 3 = 0 B. x – 7y + 1 = 0 C. x + 7y + 26 = 0 D. x – 7y – 30 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 1(x – 2)- 7(y + 4) = 0 hay x – 7y – 30 = 0
Câu 4: Cho tam giác ABC có phương trình BC : 2x – y + 3 = 0 ; đường trung tuyến BM : 4x + y + 9 = 0 và đường phân giác CK : 3x + y – 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x – y – = 0 B. 2x + y – 2,5 = 0 C. x + 2y – 2,5 =0 D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: C
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(-2 ; -1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(0,6 ; 4,2)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(-0,7 ; 1,6)
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) :
⇒ Phương trình d : 1(x + 0,7) + 2(y – 1,6) = 0 hay x + 2y – 2,5 = 0
Câu 5: Cho tam giác ABC có = 300; = 1200. Gọi M(1; 2) là trung điểm BC và C(-2; 4). Viết phương trình đường trung trực của BC?
A. 2x + y – 3 = 0 B. 3x – 2y + 5 = 0 C. 2x + 3y – 5 =0 D. 3x – 2y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Xét tam giác ABC có: = 1800 – – = 300
⇒ = nên tam giác ABC cân tại A.
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM :
⇒ Phương trình AM : 3(x – 1) – 2(y – 2) = 0 hay 3x – 2y + 1 = 0
Câu 6: Cho tam giác ABC có điểm B(-2; 4); phương trình đường thẳng AC: x + 2y – 6 = 0 và đường phân giác trong CN: 2x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC?
A. 2x – y + 3 =0 B. 2x + y – 4 = 0 C. x – 2y + 3 = 0 D. x – 2y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Hai đường thẳng AC và CN cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:
⇔ x = 2; y = 2 ⇒ C( 2; 2).
+ Gọi d là đường trung trực của BC.
+ Trung điểm của BC là M( 0; 3).
+ Đường thẳng d:
⇒ Phương trình đường thẳng d: 2(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 3 = 0
Câu 7: Cho điểm A(- 2 ; 5) ; điểm B(m – 2 ; 1 – m). Phương trình đường trung trực của AB là (d) 2x – 3y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m = B. m = C. m = 8 D. m =
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -3) .
+ vecto AB→( m ; – m – 4).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ – 3m = – 2m – 8
⇔ – m = – 8 nên m = 8
Câu 8: Cho điểm A(m-1; 2) và điểm B(-1; m). Phương trình đường trung trực của AB là ( d): 2x – 5y + 9 = 0. Tìm m?
A. m = B. m = C. m = 8 D. m = –
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -5) .
+ vecto AB→( -m ; m – 2).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ ⇔ 5m = 2m – 4
⇔ 3m = – 4 nên m = –
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các công thức về phương trình đường thẳng
- Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
- Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Săn SALE shopee tháng 6-6:
- Unilever mua 1 tặng 1
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà: