Công Thức Tính Nhanh Cực Trị Hàm Trùng Phương Và Bài Tập

1. Hàm trùng phương là gì?

Hàm trùng phương là một trong những hàm số mà học sinh rất thường gặp. Hàm trùng phương là dạng đặc biệt của hàm số bậc 4, thường được quy về hàm số bậc 2 để giải phương trình.

Hàm số trùng phương là hàm có dạng như sau:

$y=ax^{4}+bx^{2}+c$ (với $a neq 0$)

Để tìm được cực trị hàm bậc 4 trùng phương, ta sẽ quy về phương trình bậc 2 để giải phương trình tìm cực trị.

2. Điều kiện hàm trùng phương có 3 cực trị, 1 cực trị

Để hàm trùng phương có 3 cực trị và 1 cực trị, ta sẽ có các điều kiện như sau:

Cho hàm số: $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ (với $a neq 0$)

$Rightarrow y’=4ax^{3}+2bx, y = 0$ suy ra:

3. Công thức giải nhanh cực trị của hàm số trùng phương

Để có thể áp dụng công thức và giải nhanh bài tập cực trị hàm trùng phương, các em cần nắm rõ các tính chất sau đây:

3.1. Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Cho hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ (với $a neq 0$) có đồ thị (C)

$Rightarrow y’=4ax^{3}+2bx, y = 0$ suy ra:

Đồ thị (C) có 3 điểm cực trị nên y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

$Leftrightarrow frac{-b}{2a} > 0$

Để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân ta có công thức tính nhanh:

$b^{3}=-8a$

3.2. Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Cho hàm số:

$y=ax^{4}+bx^{2}+c$ (với $a neq 0$) có đồ thị ©

$Rightarrow y’=4ax^{3}+2bx$

y = 0 suy ra:

Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều, ta có công thức tính nhanh là:

$b^{3}=-24a$

4. Một số bài tập về cực trị hàm trùng phương

Các bạn học sinh đã được biết về điều kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị, 1 cực trị và công thức cực trị hàm trùng phương. Dưới đây là một số bài tập vận dụng dạng toán này giúp các em hiểu bài hơn.

Bài 1: Tìm giá trị tham số m để ĐTHS $y=x^{4}-2(m+1)x^{2}+m^{2}$ (với m là tham số thực) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông.

Giải:

$y’=4x^{3}-4(m+1)x$

Hàm số có 3 cực trị $m+1>0 Rightarrow m>-1$

Lúc này đồ thị có 3 điểm cực trị:

$A(0;m^{2}),B(-sqrt{m+1};-2m-1);C(sqrt{m+1};-2m-1)$

Có: B và C đối xứng nhau qua Oy, A ∈ Oy nên ∆ABC cân tại A nghĩa là AB = AC nên tam giác chỉ vuông cân tại A.

Theo định lý Pitago ta có:

$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}Leftrightarrow (m+1)[(m+1)^{3}-1]=0$

$Rightarrow (m+1)^{3}-1=0 Rightarrow m=0$ (do m > -1)

Bài 2: Cho $y=x^{4}-2mx^{2}+m-1$, (m là tham số thực). Hãy xác định các giá trị của m để hàm số có 3 cực trị và các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 1.

Giải:Đạo hàm $y’=4x^{3}-4mx=4x(x^{2}-m)=0$

Hàm số có 3 điểm cực trị

$Leftrightarrow$ Có: phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó $Leftrightarrow$ m > 0

Khi đó 3 điểm cực trị của ĐTHS là:

$A(0;m-1),B(-sqrt{m};-m^{2}+m-1),C(sqrt{m};-m^{2}+m-1)$

$S_{bigtriangleup ABC}=frac{1}{2}left | y_{B}-y_{A} right |.left | x_{C}-x_{B} right |=m^{2}sqrt{m};AB=AC=sqrt{m^{2}+m},BC=2sqrt{m}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$R=frac{AB.AC.BC}{4S_{Delta ABCABC}}=1 Leftrightarrow frac{(m^{4}+m)sqrt{m}}{4m^{2}sqrt{m}}=1 Leftrightarrow m^{3}-2m+1=0$

Bài 3: Cho hàm số $y=x^{4}-8m^{2}x^{2}+1$ (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có diện tích tam giác ABC bằng 64 và có 3 cực trị A,B,C.

Giải:

$y’=4x^{3}-16m^{2}x=4x(x^{2}-4m^{2})$

Để hàm số có 3 cực trị là y’ = 0 và có ba nghiệm phân biệt

$Leftrightarrow$ Phương trình $g(x)=x^{2}-4m^{2}=0$ có 2 nghiệm phân biệt $xneq 0 Leftrightarrow m neq 0$

$y’=0Leftrightarrow$

Ta có 3 điểm cực trị là: $A(0;1); B(2m;1-16m^{4}); C(-2m;1-16m^{4})$

Ta thấy $AB = AC = sqrt{(2m)^{2}+(16m^{4})^{2}}$ suy ra tam giác ABC cân tại A.

I là trung điểm của BC thì $I(0;1-16m^{4})$ nên $AI=16m^{4}$; BC = 4|m|

$S_{Delta ABC}=frac{1}{2}AI.BC=frac{1}{2}16m^{4}.4left | m right |=64 Leftrightarrow left | m^{5} right |=2 Leftrightarrow m=pm sqrt[5]{2}$ (thỏa mãn $m neq 0$).

Vậy $m=pm sqrt[5]{2}$ là giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số $y=x^{4}-2(1-m^{2})x^{2}+m+1$. Tìm m để hàm số có cực tiểu, cực đại và điểm cực trị của đồ thị hàm số lập được thành tam giác có diện tích S lớn nhất.

Giải:

Ta có $y’=4x^{3}-4(1-m^{2})x,y’=0 Leftrightarrow$

Để hàm số có cực đại, cực tiểu chỉ khi |m| < 1

Tọa độ điểm cực trị:

$A(0;m+1); B(sqrt{1-m^{2}};-m^{4}+2m^{2}+m); C(-sqrt{1-m^{2}};-m^{4}+2m^{2}+m)$

Ta có $S_{Delta ABC}=frac{1}{2}.BC.d(A;BC)=sqrt{1-m^{2}}left | m^{4}-m^{2}+1 right |=sqrt{(1-m^{2})^{5}}leq 1$

$Rightarrow S_{max} Leftrightarrow m=0$

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 5: Cho hàm số $y=x^{4}+2mx^{2}+m^{2}+m$. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng $120^{circ}$

Giải:

Ta có $y’=4x^{3}+4mx;y’=0 Leftrightarrow 4x(x^{2}+m)=0$

$Leftrightarrow$

Gọi $A(0;m^{2}+m); B(sqrt{m};m); C(-sqrt{m};m)$ là các điểm cực trị

$overline{AB}=(-m;-m^{2}); overline{AC}=(-sqrt{-m};-m^{2})$. $Delta ABC$ cân tại A nên góc $120^{circ}$ chính là A.

$hat{A}=120^{circ} Leftrightarrow cos A =frac{-1}{2}Leftrightarrow frac{overline{ABAC}}{left | overline{AB} right | left | overline{AC} right |}=-frac{1}{2}Leftrightarrow frac{-sqrt{-m}.sqrt{-m}+m^{4}}{m^{4}-m}=frac{-1}{2}$

$Leftrightarrow frac{m+m^{4}}{m^{4}-m}=frac{-1}{2} Rightarrow 2m+2m^{4}=m-m^{4}Leftrightarrow 3m^{4}+m=0$

$Leftrightarrow m=-frac{1}{sqrt[3]{3}}$ hoặc m = 0 (loại)

Vậy $m=-frac{1}{sqrt[3]{3}}$ là giá trị cần tìm.

Sau bài viết, hy vọng các em học sinh đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết và bài tập áp dụng về cực trị hàm trùng phương. Để có thêm nhiều bài giảng hay, các em có thể truy cập nền tảng học online Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để có được kiến thức tốt nhất nhé!