Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài viết Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải
– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương
Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Trục Ox có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và Ox là:
Chọn B.
Ví dụ: 2
Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?
A. 30o
B. 45o
C. 60o
D. 90o
Lời giải:
Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:
d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và d’ là:
=> góc giữa d và d’ bằng 90o.
Chọn D.
Ví dụ: 3
Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn A.
Ví dụ: 4
Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .
=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Chọn C.
Ví dụ: 5
Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
A. m= 2
B. m = – 4
C. m= (- 1)/2
D. m= 1
Lời giải:
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
Chọn C.
Ví dụ: 6
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?
A. m= ± 1
B.m= ± 2
C. m= 0
D. m= ± 3
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Theo giả thiết ta có:
Chọn A.
Ví dụ: 7
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để
A. m= 1
B.m= – 1
C. m= – 2
D. m= -1 hoặc m= -7
Lời giải:
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Theo giả thiết ta có:
Chọn D.
Ví dụ: 8
Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Phương trình mặt phẳng (ABC):
Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
=> Sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Chọn A.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương
=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là:
=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là 0 khi t= 0.
Khi đó; M( 1; 2; – 2) và
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn C.
Câu 2:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?
A. ( -3; 0; 4)
B. ( 3; 0; 2)
C. ( -1; -2; -1)
D. ( 1;2;1)
Lời giải:
Gọi là VTPT của (P).
Đường thẳng (d) có vecto chỉ phương .
Gọi α là góc tạo bởi (P) và Oy, α lớn nhất khi sinα lớn nhất.
=> n→ vuông góc với u→ nên n→.u→=0
⇔ a- b- 2c= 0 ⇔ a= b+ 2c
=> vecto pháp tuyến
Ta có;
Nếu b= 0 thì sinα= 0
Nếu b ≠ 0 thì . Khi đó, sinα lớn nhất khi:
Chọn b= 5; c= -2 => a= b+ 2c= 1
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 5y- 2z + 9= 0. Do đó ta có ( -1; -2; -1) thuộc (P).
Chọn C.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương .
Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
+ Cosin góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?
A . 5
B.10
C. 8
D. 7
Lời giải:
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:
=> Sin góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là:
=>a= 10.
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Gọi giao điểm của d và Δ là N( 2+ 2t; t; – 2+ t)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
=> sin góc tạo bởi đường thằng Δ và mặt phẳng (P) thỏa mãn:
+ Với t= 0 thì N( 2;0; -2 ) và
=> Phương trình đường thẳng MN≡Δ:
+ Với
=> Đường thẳng MN nhận vecto ( 23; 14; – 1) làm vecto chỉ phương
=> Phương trình MN:
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45o. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thăng d có vectơ chỉ phương
Gọi một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên: ud→.n→=0
⇔ a- b+ c= 0 ⇔ b= a+ c
+ Do góc giữa đường thẳng ( d) và ( Δ) là 450 nên ta có: cos( d;Δ) =cos45o
Với c= 0, chọn a= b= 1, phương trình đường thẳng d là:
Với 15a+ 7c= 0, chọn a= 7=> c= -15 và b= -8, phương trình đường thẳng d là
Chọn A
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
+ Vì d// (P) nên hai vecto ud→ và n→ vuông góc với nhau.
=> ud→.n→= 0 ⇔ 2a- b- c= 0 ⇔ c= 2a- b
+ Cosin góc tạo bởi đường thẳng d và Δ là:
=> cosin góc tạo bởi hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỉ nhất là 0 khi 5a- 4b= 0
Chọn a= 4 => b= 5 và c= 3
+ Đường thẳng d đi qua điểm A (1; -1; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)
B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)
C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)
D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)
Lời giải:
Gọi giao điểm của đường thẳng d và trục Oy là M( 0; m;0)
Trục Oy có vectơ chỉ phương là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
Góc giữa đường thẳng d và trục Oy là 45o nên ta có:
+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn D.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
- Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng
- Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
- Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Săn SALE shopee tháng 6:
- Tsubaki 199k/3 chai
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà:
Theo dõi chúng tôi www.hql-neu.edu.vn để có thêm nhiều thông tin bổ ích nhé!!!
