Định lí Vi-ét là gì? Áp dụng cho phương trình bậc 2 và cách ứng

Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2

Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2 là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số lớp 9. Trong bài viết này, chúng ta sẽ hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ và cách ứng dụng định lí Vi-et vào giải phương trình một cách cực kỳ hiệu quả.

I. LÍ THUYẾT VỀ ĐỊNH LÍ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai giúp chúng ta tìm được các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a ≠ 0. Cụ thể, định lí Vi-ét cho rằng:

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 và x2, thì:

• x1 + x2 = -b/a
• x1x2 = c/a

Nếu phương trình chỉ có một nghiệm kép x1 = x2, thì:

• x1 + x2 = -b/a
• x1x2 = c/a
• x1 = x2 = -b/(2a)

II. CÁCH ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1. Dựa định lí Vi-et để tính nhẩm nghiệm

Thường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, ta có thể sử dụng định lí Vi-et để tính toán các nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng. Cụ thể, ta sử dụng công thức:

• x1 + x2 = -b/a
• x1x2 = c/a

Ví dụ, để giải phương trình 2×2 + 3x – 2 = 0, ta áp

Cách tính nhẩm nhanh hơn bằng định lý Vi-ét

Để giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0), ta có thể sử dụng định lý Vi-ét để tính nghiệm. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng định lý Vi-ét để tìm giá trị của biểu thức giữa hai nghiệm hoặc tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Ví dụ 1: Giải phương trình bằng định lý Vi-ét

Cho phương trình (3-√ – 1)x2 – 4x – (3-√ – 5 ) = 0. Áp dụng định lý Vi-ét, ta tính được hai nghiệm:

• x1 = 1
• x2 = -(3√-5)3√-1

Với phương trình (m + 4)x2 – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1, ta cũng áp dụng định lý Vi-ét để tính nghiệm:

• x1 = -1
• x2 = -(m-1)m+4=1-mm+4

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức giữa hai nghiệm

Nếu ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2, ta có thể tính được giá trị của các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm bằng tổng và tích của chúng:

• S = x1 + x2
• P = x1.x2

Ví dụ 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Dựa vào định lý Vi-ét đảo, ta có thể tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Ví dụ:

Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD khi biết tổng hai đường chéo là 20 và diện tích của hình chữ nhật là 48.

Áp dụng định lý Vi-ét đảo, ta tính được hai cạnh của hình chữ nhật:

• a + b = 20
• ab = 48

Sử dụng định lý Vi-ét đảo, ta tính được hai cạnh của hình chữ nhật:

• a = 8
• b = 12

Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Biết diện tích và chu vi của hình chữ nhật

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0

Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Giả sử ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có Δ ≥ 0

Ví dụ: Phân tích 3×2 + 5x – 8 thành nhân tử

Nhận xét: 3×2 + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = -8/3

Khi này tam thức 3×2 + 5x – 8 = (x – 1)(x + 8/3)

Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x1 cho trước

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (*)

Bước 2: Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số

Bước 3: Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận

Cách 2:

Bước 1. Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm được giá trị của tham số.

Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình.

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.

Tìm nghiệm thứ hai của phương trình bậc 2

Để tìm nghiệm thứ hai của phương trình bậc 2, chúng ta có thể áp dụng một trong ba cách sau:

• Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình và giải phương trình.
• Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.
• Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Bài viết trên đây đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2 và cách ứng dụng rất hay. Hy vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nhiều nguồn tư liệu hữu ích. Hãy cùng xem thêm về định lí Sin trong tam giác nhé!

Nguồn tham khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Vi%C3%A8te