1. Định lý Menelaus và ứng dụng tổng hợp nhất|| DINHLUAT.COM

Định lý Menelaus

Menelaus là nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên.

“Trong thần thoại Hy Lạp, Menelaus (tiếng Hy Lạp cổ: Μενέλαος) là vị vua của Sparta trong thời kỳ Mycenae, chồng của Helen và là nhân vật trung tâm trong Chiến tranh thành Troia. Ông là con trai của Atreus và Aerope, người anh em của vua Agamemnon – Mycenae và là thủ lĩnh của quân đội Hy Lạp trong cuộc chiến. Là một nhân vật nổi bật trong cả hai sử thi Iliad và Odyssey, Menelaus cũng rất nổi tiếng trong các bức họa trang trí trên các bình cổ và trong các vở bi kịch của Hy Lạp.”

Trích nguồn: Wikipedia

Phát biểu định lý

Cho tam giác ABC và các điểm A’, B’, C’ trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm A’, B’, C’ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam giác ABC.

Điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là:

Chứng minh định lý

Phần thuận

Giả sử A’, B’, C’ thẳng hàng ta cần chứng minh:

Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt A’C’ tại M. Áp dụng định lí Thales ta có:

(Nếu bạn chưa biết về định lý Thales, bạn có thể tham khảo tại đây: ĐỊNH LÝ THALES!)

Mặt khác ta có:

Do đó ta có điều cần chứng minh:

Phần ngược

Cho các điểm A’, B’, C’ thỏa mãn đẳng thức của định lý, ta chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.

Giả sử B’, C’ nằm trên hai cạnh của tam giác và A’ thuộc phần kéo dài của cạnh còn lại. Gọi D là giao điểm của A’C’ và AC. Khi đó, theo chứng minh trên ta có:

Từ đó ta có:

Vậy A’, B’, C’ thẳng hàng.

Trong trường hợp 3 điểm A’,B’,C’ cùng thuộc phần kéo dài của các cạnh chứng minh tương tự.

Ứng dụng định lý

Bài 1

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI. Đường thẳng BI cắt AC tại P. Chứng minh rằng: PA = 2PC?

Nhận xét: Việc áp dụng định lý – Menelaus cho bài toán này dẫn đến lời giải hay và rất ngắn gọn.

Bài 2

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy.

Bài 3

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.

Bài 4

Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp. b) DC = DB.PC và D là trung điểm của QS. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

Bài 5

Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.

Bài 6

Cho tam giác ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB = MC. Chứng minh CF, BE , AM đồng quy.

Định lý tương tự: Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp công thức lượng giác

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!

Bài viết tham khảo: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP!

Chuyên mục tham khảo: Toán học

Website liên kết: KHS247

Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Youtobe Facebook Twitter