Đường phân giác là gì? Tính chất và công thức tính đường phân giác?

Tìm hiểu về đường phân giác trong tam giác

Định nghĩa đường phân giác trong tam giác

Đường phân giác là của một góc chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Mọi điểm trên một đường phân giác cách đều hai cạnh của góc đó và ngược lại.

Đường phân giác trong tam giác là đường thẳng chia một góc của tam giác đó thành hai góc bằng nhau. Bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác. Trong một tam giác có 3 đường phân giác và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó và được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Trường hợp đặc biệt hơn có thể xảy ra là đường phân giác trong tam giác cân. Trong tam giác cân, đường phân giác hạ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao của tam giác đó. Tia phân giác của góc là tia nằm chính giữa hai tia và.

Ví dụ

Trên hình tam giác có 3 đường phân giác được hạ từ 3 đỉnh A, B, C: AH, CP, BK và chúng giao nhau tại O.

Định lý đường phân giác trong tam giác

Định lý đường phân giác trong tam giác: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Ví dụ

Cho △ABC có AD là tia phân giác của góc A; D thuộc BC. Ta có tỉ lệ AB/AC=DB/DC (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Cho tam giác ABC có AD, AE lần lượt là đường phân giác góc trong và góc ngoài tại đỉnh A. Khi đó ta có DB/DC=AB/AC và EB/EC=AB/AC.

Những chú ý về đường phân giác trong tam giác

Định lí về đường phân giác trong tam giác vẫn đúng với đường phân giác góc ngoài của tam giác.

Tính chất và công thức tính đường phân giác trong tam giác

Định nghĩa và tính chất chung

Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng kết nối đỉnh của tam giác với điểm trên cạnh đối diện. Ba đường phân giác trong tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trung tâm đường phân giác.

Tính chất chung của đường phân giác trong tam giác bao gồm:

• Đường phân giác trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn có tỉ số bằng nhau với hai cạnh còn lại.
• Đường phân giác trong tam giác chia góc đó thành hai góc có diện tích bằng nhau.
• Điểm trên đường phân giác cách hai đỉnh của tam giác một khoảng bằng nhau.

Tính chất của đường phân giác trong tam giác cân

Tam giác cân có đường phân giác từ đỉnh bằng đường trung trực của cạnh đáy

Trong tam giác cân, đường phân giác từ đỉnh cắt cạnh đáy tại một điểm nằm trên đường trung trực của cạnh đáy và đồng thời là đường trung tuyến, đường cao.

Tam giác cân có đường phân giác từ đỉnh bằng đường trung trực của cạnh đáy

Trong tam giác đều, đường phân giác từ đỉnh xuống cạnh đáy bằng đường trung trực của cạnh đáy và đồng thời là đường cao.

Công thức tính độ dài đường phân giác trong tam giác

Công thức tính độ dài đường phân giác trong tam giác phụ thuộc vào loại tam giác:

• Đường phân giác trong tam giác thường: Áp dụng công thức sau: $frac{BD}{DC} = frac{AB}{AC} Rightarrow BD = frac{AB times BC}{AB + AC}, DC = frac{AC times BC}{AB + AC}$
• Đường phân giác trong tam giác đều: Sử dụng định lý Heron để tính độ dài của đường phân giác trong tam giác đều.

Bài tập

Câu 1:

Trong tam giác ABC, AB = 20/7 cm và AC = 15/7 cm. Tìm độ dài đoạn thẳng chia đôi góc B và độ dài đoạn thẳng chia đôi góc C.

Giải pháp:

Chúng ta có thể sử dụng định lý phân giác góc để tìm độ dài các đoạn thẳng. Gọi BD là đoạn thẳng chia đôi góc B và DC là đoạn thẳng chia đôi góc C. Khi đó:

BD/DC = AB/AC

BD/(BD + DC) = AB/(AB + AC)

Thay các giá trị đã cho, chúng ta có:

BD/(BD + DC) = 3/4

BD = 15/7 cm, DC = 20/7 cm

Vậy, độ dài đoạn thẳng chia đôi góc B là 15/7 cm và độ dài đoạn thẳng chia đôi góc C là 20/7 cm.

Câu 2:

Trong tam giác ABC, AB = 8 cm, BC = 10 cm và AC = 6 cm. Tìm độ dài đoạn thẳng chia đôi góc B và độ dài đoạn thẳng chia đôi góc C.

Giải pháp:

Sử dụng định lý phân giác góc, ta có:

BD/DC = AB/AC

BD/(BD + DC) = 8/16

BD = 8/3 cm, DC = 10/3 cm

Vậy, độ dài đoạn thẳng chia đôi góc B là 8/3 cm.

Câu 3:

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Vì AE là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

EB/EC = AB/AC = 5/6. Do đó theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

EB/5 = EC/6 = (EB + EC)/(5 + 6) = 7/11. Vậy ta có: EB/5 = 7/11. => EB = 5.(7/11) = 35/11 (cm).

Ta có: EC/6 = 7/11. => EC = 6.(7/11) = 42/11 (cm).

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC.

Ta có MD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên MD = 1/2 BC. Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:

AD/DB = AM/BM và AE/EC = AM/MC.

Vì M là trung điểm của BC nên ta có AM = 1/2 BC.

Vì AD = BD nên ta có AM/BM = 1.

Vì AE = EC nên ta có AM/MC = 1.

Vậy ta có DE // BC do hai tỉ số AD/DB và AE/EC bằng nhau.

Tham khảo

https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_ph%C3%A2n_gi%C3%A1c