Hàm số chẵn lẻ là gì? Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số

Khái niệm hàm số chẵn lẻ là gì không những quan trọng đối với môn Toán học lớp 10 mà còn đi theo các bạn trong nhiều lĩnh vực khác của toán giải tích. Đây được xem là kiến thức nền tảng và giúp các bạn hiểu sâu hơn về đồ thị, hàm số. Vậy khái niệm của hàm số chẵn lẻ và cách xác định nó ra sao? Cùng Câu lạc bộ Toán học muôn màu – CMath tìm hiểu chi tiết trong bài viết sau đây nhé.

1. Định nghĩa hàm số chẵn lẻ là gì?

Trong môn Toán, hàm số được gọi là hàm số chẵn lẻ nếu thỏa mãn quan hệ đối xứng khi lấy nghịch đảo phép cộng. Hàm số f(x)=xn là hàm số chẵn khi n là một số nguyên chẵn, ngược lại hàm số là lẻ khi n là một số nguyên lẻ.

1.1. Hàm số chẵn là gì?

Để trả lời câu hỏi hàm số chẵn là gì thì chúng ta sẽ xét về mặt hình học. Một hàm số chẵn khi được biểu thị trên đồ thị sẽ có dạng đối xứng qua trục tung (trục y), nghĩa là khi lấy đối xứng qua trục y thì đồ thị hàm số không đổi.

Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là một hàm số chẵn:

∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x) = f(x)

Một số ví dụ về hàm số chẵn:

• Hàm giá trị tuyệt đối: x x
• x x2
• x x4
• Hàm cosin

1.2. Hàm số lẻ là gì?

Về mặt hình học, một hàm số lẻ khi được biểu thị trên đồ thị sẽ có dạng đối xứng qua tâm của góc tọa độ, nghĩa là khi thực hiện phép quay 180 độ quanh tâm O(0;0) thì đồ thị hàm số không đổi.

Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là một hàm số lẻ:

∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=−f(x)

Một số ví dụ về hàm số lẻ:

• Hàm đồng nhất x x
• x x3
• Hàm sin

1.3. Hàm số không chẵn không lẻ là gì?

Không phải bất kỳ hàm số nào cũng có thể xác định là hàm số chẵn hoặc lẻ. Một số dạng hàm số vừa không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ như: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Ngoài ra, còn có một dạng hàm số đặc biệt là hàm vừa chẵn vừa lẻ. Ví dụ như hàm y=0

2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số

Sau khi đã hiểu được hàm số chẵn lẻ là gì thì sau đây CMath sẽ gợi ý cho các bạn học sinh các cách để xác định một hàm số là hàm số chẵn hay lẻ.

2.1. Nhớ một hàm số chẵn lẻ thường gặp

• Hàm số chẵn

• y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi b = 0
• Hàm trùng phương bậc 4
• y = cosx
• y = f(x)

• Hàm số lẻ

• y = ax + b khi và chỉ khi b = 0
• y = ax3 + bx2 + cx + d khi và chỉ khi b = d = 0
• y = sinx; y = tanx; y = cotx

• Một số trường hợp khác

• F(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm lẻ
• F(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm chẵn
• Hàm số đa thức bậc lẻ thì không phải là hàm chẵn
• Hàm số đa thức bậc chẵn thì không phải là hàm lẻ

2.2. Áp dụng định nghĩa

• Bước đầu tiên là xem xét xem tập xác định của hàm số đã cho có đối xứng hay không. Nếu không thì xác định hàm số không chẵn không lẻ. Nếu có thì tiếp tục bước thứ 2.
• So sánh f(x) với f(-x). Nếu hai hàm số đồng nhất thì kết luận hàm số chẵn. Ngược lại nếu đối nhau thì kết luận là hàm lẻ.

2.3. Xác định hàm số chẵn lẻ bằng máy tính

Có thể sử dụng máy tính cầm tay Casio để xác định hàm số chẵn lẻ như sau:

Sử dụng tính năng TABLE để khảo sát hàm số f(x) và f(-x):

Bước 1: Chỉnh chế độ MODE 7

Bước 2: Nhập hàm số đã cho vào rồi nhấn phím “=”

Bước 3: Máy tính sẽ hiện ra hàm g(x) tượng trưng cho hàm f(-x), vì vậy chỗ nào có x bạn sẽ thêm dấu “-” vào để thành f(-x) rồi nhấn “=”

Bước 4: Nhập vào bảng giá trị các giá trị Start, End, Step tùy ý. Thông thường sẽ là Start = 1, End = 10, Step = (10-1):19

Bước 5: Nếu giá trị f(x) = f(-x) thì là hàm chẵn. Nếu f(x) = -f(-x) thì hàm số là hàm lẻ. Còn nếu các giá trị lộn xộn không có quy luật thì hàm không chẵn cũng không lẻ.

2.4. Sử dụng đồ thị hàm số để xác định hàm số chẵn lẻ

• Đồ thị hàm số của hàm chẵn có dạng đối xứng qua trục tung (y)
• Đồ thị hàm số của hàm lẻ có dạng đối xứng qua gốc tọa độ O(0;0)

3. Ứng dụng hàm số chẵn lẻ vào bài tập

Cho hàm số f(x) liên tục trên R, f'(x) có đồ thị như sau. Vậy hàm số f(x) + 2022 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

1. (−∞;−2)
2. (-2;0)
3. (−2;2)
4. (0;+∞)

Cách giải:

• do f'(x) là hàm lẻ nên suy ra f(x) là hàm chẵn.
• Sự biến thiên của f(|x|) + 2020 so với hàm f(x) là không đổi.

Vậy đáp án B là đáp án đúng.

4. Một số bài tập tự luyện

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào lẻ?

1. y = sin(x+1)
2. y = −4x³+3x²+2x-5
3. y = 2|x|³+2x²+|x|-4
4. y = x²+3

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=x²+2(m²-4)x+3m-2 là hàm số chẵn?

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Câu 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2x³-2(m²-1)x²+4x+m-1 là hàm số lẻ. Số phần tử của S là?

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Câu 4: Cho f(x) là hàm số chẵn và có bảng biến thiên như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(|x|) trên đoạn [-1;2] là

1. 1
2. 2
3. −1
4. 0

Câu 5: Cho hàm số f(x) liên tục và xác định trên R có 5 điểm cực trị dương và f'(0) ≠ 0. Tổng số cực trị của f(|x|) là

1. 5
2. 10
3. 11
4. 12

5. CMath – Trung tâm luyện thi toán uy tín tại Hà Nội

Câu lạc bộ toán học muôn màu – CMath là nơi đào tạo, khơi dậy tiềm năng và sự đam mê toán học từ các bạn trẻ. CMath sẽ cùng quý phụ huynh đồng hành cùng con trẻ trên con đường phát triển tư duy và rèn luyện những kỹ năng cần có trong các môn học trên ghế nhà trường.

Khi đến với CMath phụ huynh và học sinh hoàn toàn có thể an tâm về chất lượng giảng dạy cũng như đội ngũ nhân sự từ giáo viên, trợ giảng đến các bạn quản lý lớp. Tại đây CMath luôn dành sự quan tâm đặc biệt và chăm sóc tận tình đến các bạn học sinh, đảm bảo quá trình học tập được thoải mái, tạo cảm giác hứng thú và yêu thích môn học.

Kinh nghiệm giảng dạy dày dặn từ các thầy cô kì cựu trong lĩnh vực giáo dục cùng với chương trình đào tạo được chọn lọc và biên soạn từ cơ bản đến nâng cao. Thích hợp cho mọi mức độ nhận biết khác nhau của các bạn học sinh.

Khi cho con trẻ theo học tại CMath, quý phụ huynh sẽ nhận được sự an tâm và yên lòng khi thấy con được đào tạo trong môi trường tốt nhất, tỷ lệ đậu trường chuyên cao hơn 92% trong các trường tại Hà Nội. Quý phụ huynh được cam kết hoàn tiền khi cho con trẻ ngừng học vì bất kì lý do gì.

>>> Tham khảo:

Cách tìm tập xác định của hàm số chi tiết, dễ hiểu

Tất tần tật kiến thức về định lý cosin và cách vận dụng định lý cosin trong tam giác

Lý thuyết đầy đủ về hàm số lượng giác

Kết luận

Trên đây là những thông tin về hàm số chẵn lẻ là gì mà CMath đã cung cấp đến các bạn. Hy vọng bài viết hữu ích và giúp được cho các bạn học sinh trong quá trình đến với môn Toán.

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
• Nhà liền kề NTT06-82 Nguyễn Tuân-Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline : 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn