Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề – HayHocHoi
Bài viết này các em hãy cùng hayhochoi tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.
A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên
Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng: trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.
+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì phải có giá trị nguyên hay tức là g(x) thuộc tập ước của k.
+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x
+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán
B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên
* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
* Lời giải:
– Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.
Ta có:
Để A nhận giá trị nguyên thì nguyên (tức )
– TH1: (loại)
– TH2: (thỏa)
Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.
* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:
* Lời giải:
Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.
Điều kiện xác định:
Ta có:
Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi có giá trị nguyên:
Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)
Để là số nguyên thì phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)
⇒ là ước tự nhiên của 5
Ta có các trường hợp như sau:
– TH1: (thỏa)
– TH2: (thỏa)
– TH3: (thỏa)
– TH4: (loại)
Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}
* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:
* Lời giải:
– Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.
Ta có:
Vậy để B nhận giá trị nguyên thì
⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}
– TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2
– TH2: x + 1 = 1 ⇒ x = 0
– TH3: x + 1 = -2 ⇒ x = -3
– TH4: x + 1 = 2 ⇒ x = 1
Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.
* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên
* Lời giải:
– Ta có:
Để P nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên
Nên (x – 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}
– TH1: x – 2 = -1 ⇒ x = 1
– TH2: x – 2 = 1 ⇒ x = 3
– TH3: x – 2 = -5 ⇒ x = -3
– TH4: x – 2 = 5 ⇒ x = 7
Vậy P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}
* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:
* Lời giải:
– Ta có:
Vậy để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên
Nên (x – 3) là ước của 8: (x – 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}
– TH1: x – 3 = -1 ⇒ x = 2
– TH2: x – 3 = 1 ⇒ x = 4
– TH3: x – 3 = -2 ⇒ x = 1
– TH4: x – 3 = 2 ⇒ x = 5
– TH5: x – 3 = -4 ⇒ x = -1
– TH6: x – 3 = 4 ⇒ x = 7
– TH7: x – 3 = -8 ⇒ x = -5
– TH8: x – 3 = 8 ⇒ x = 11
Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}
* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên
* Lời giải:
– Điều kiện x ≥ 0.
– Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0
– Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho
Ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:
(nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)
hay 0 < Q ≤ 2.
Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.
– Với Q = 1, ta có:
(*)
Đặt phương trình (*) trở thành
t2 – 3t + 1 = 0
Giải phương trình bậc 2 này ta được:
– Với Q = 2, ta có:
Vậy Q nhận giá trị nguyên khi
Theo dõi chúng tôi www.hql-neu.edu.vn để có thêm nhiều thông tin bổ ích nhé!!!
