Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội? Một số dạng bài tập

Toán học lớp 6 là một sự thay đổi hoàn toàn mới về tri thức dành cho những bạn học sinh. Nó được tăng hơn hẳn so với những gì chúng ta làm quen về phần số hay phần hình ở bậc tiểu học. Trong đó liên quan tới phần số chính là những khái niệm có phần trừu tượng như Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội?,… Hãy cùng tìm hiểu về những khái niệm mới này qua những chia sẻ từ Trường Trường Cao đẳng Tài nguyên và Môi trường miền Trung.

Khái niệm Ước là gì? Bội là gì?

Bạn đang xem bài: Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội? Một số dạng bài tập liên quan

Hay còn một cách gọi khác đó là ước số là gì. Ước là một số tự nhiên khi lấy một số tự nhiên khác đem chia với nó sẽ chia hết. Hoặc nếu như một số tự nhiên A được coi là ước của số tự nhiên B nếu như số B đó chia hết cho A. Ví dụ số 8 chia hết cho những số 1,2,4 và 8 thì 1,2,4 và 8 chính là ước số của 8.

trái lại bội chính là những số chia hết cho một số tự nhiên. Bội số của A là những số chia hết cho A. Ví dụ bội của 4 là những số chia hết cho 4 như 4,8,12,16,20,24,28,… Và tương tự bội số nhỏ nhất của một số tự nhiên chính là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho số đó.

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Nhắc tới ước và bội cùng những bài tập liên quan tới nó thì ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất là nội dung chiếm khá lớn trong phần tri thức này.

Ước chung lớn nhất là gì

Liên quan tới ước chúng ta còn có một khái niệm khác liên quan đó chính là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương. Một số nguyên dương b lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a và b thì b chính là ước số chung lớn nhất của a và b. Nói một những đơn thuần thì ước số chung lớn nhất của 2 hay nhiều số tự nhiên khác nhau là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của 2 hay nhiều số tự nhiên đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của những số x, y, z là UCLN (x, y, z).

Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30

Ta có: 12 = 2² ×3

20 = 2² × 5

30 = 2 × 3 × 5

Suy ra ƯCLN(12; 20; 30) = 2

Ước số nguyên dương và ước số nguyên âm

trước tiên ta cần nhớ lại số nguyên dương và số nguyên âm. Số nguyên dương là những số tự nhiên bao gồm những số lớn hơn không. Còn số nguyên âm là số tự nhiên nhỏ hơn 0, được trình diễn với dấu trừ đằng trước.

Vậy ước nguyên dương là gì? nếu như có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước của a. Trong đó a > 0

Còn ước nguyên âm được hiểu là: nếu như có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước của a. Trong đó a <0.

Lưu ý:

a) nếu như những số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số yếu tố cùng nhau.

b) Trong những số đã cho, nếu như có số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của những số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Để tìm được ước chung lớn nhất của 2 hay nhiều số nguyên dương chúng ta thực hiện theo những bước sau:

• Bước 1: tìm hiểu hai hay nhiều số nguyên dương cần tìm ước chung lớn nhất ra thành thừa số yếu tố.
• Bước 2: lựa chọn ra những thừa số yếu tố chung của những số trên.
• Bước 3: Lập thành tích những thừa số đã lựa chọn. Mỗi một thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó và tích đó chính là ước chung lớn nhất mà chúng ta cần tìm.

Đối với những bài tập tìm ước chung lớn nhất cần chú ý những tìm ước chung thông qua ước chung lớn nhất. Ngoài ra hai số yếu tố cùng nhau khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

Ví dụ 1:

2 chia hết cho 2 và 1

4 chia hết cho 2 và 1

6 chia hết cho 2 và 1

=> 2 và 1 chính là ước chung của 2, 4, 6

Ví dụ 2:

Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

=> ƯC(12, 30) = {1, 2, 3, 6}

Bội chung nhỏ nhất là gì?

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung.

Hay hiểu đơn thuần hơn bội chung nhỏ nhất là số nhỏ nhất khác 0 có thể chia hết cho 2 hoặc nhiều số tự nhiên khác nhau.

Bội chung nhỏ nhất của a và b được ký hiệu là BCNN(a,b).

Ví dụ: Bội số chung của 2 và 3 là tập hợp những số tự nhiên khác 0 chia hết cho 2 và 3 bao gồm 0, 6, 12, 18, 24,… Chúng ta có thể thấy 6 là số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho 2 và 3, vậy 6 là BCNN của 2 và 3.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Để tìm được bội chung nhỏ nhất của 2 hay nhiều số nguyên dương khác nhau chúng ta cũng thực hiện qua 3 bước giống như tìm ước chung lớn nhất.

• Bước 1: tìm hiểu mỗi số ra thừa số yếu tố
• Bước 2: lựa chọn ra những thừa số yếu tố chung và riêng
• Bước 3: Lập tích những thừa số đã lựa chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là bội chung nhỏ nhất cần tìm

Điểm lưu ý khi làm bài tập dạng này đó là nếu như hai số cần tìm bội chung nhỏ nhất là hai số yếu tố cùng nhau thì tích của 2 số đó chính là bội chung nhỏ nhất. Lưu ý thứ hai là nếu như a mà là bội của b thì a cũng chính là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Số yếu tố

Ở những bước giải để tìm ra ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất chúng ta có nhắc tới những thừa số yếu tố. Vậy số thế nào được gọi là số yếu tố. hãy cùng khám phá những số yếu tố qua khái niệm riêng về nó.

Số yếu tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Dựa vào khái niệm này chúng ta có thể tìm ra rất nhiều số yếu tố như: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,… Đây đều là những số chỉ chia hết cho 1 và chính bản thân nó.

Một số dạng bài tập liên quan tới ước và bội

Chương trình toán học của lớp 6 và riêng phần số học thường xuất hiện những dạng bài tập tìm hai số nguyên dương khi cho biết những dữ liệu về ước và bội. Để làm được những bài tập tương tự trước hết chúng ta cần tìm hiểu đề một cách thận trọng và dựa vào phương pháp chung để có thể khắc phục vấn đề mà đề bài đưa ra.

Có hai phương pháp chính để giải được dạng bài tập này đó là:

• Phương pháp 1: Bám sát và khái niệm về ước chung lớn nhất để có thể trình diễn hai số cần tìm. Đồng thời liên hệ với những yếu tố đề bài đã cho để tìm ra hai số.
• Phương pháp 2: trường hợp không vận dụng được khái niệm, chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa 3 yếu tố là ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và tích của 2 số nguyên dương a và b.

Theo khái niệm ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa.

Bài toán 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1.

Theo khái niệm BCNN:

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1, n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.

Chú ý: Ta có thể vận dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15.

Bài toán 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

Lời giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n.

Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18.

Bài toán 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

Lời giải:

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.

Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.

Kết quả: a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ khái niệm ƯCLN, BCNN: Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.

Bài tập 4: Tìm những ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.

Giải:

Ư(4) = {1; 2; 4}

Ư(6) = {1; 2; 3; 6}

Ư(9) = {1; 3; 9}

Ư(13) = {1;13}

Ư(1) = {1}

Bài tập 5: Tìm ƯCLN của:

a) 56 và 140

b) 24, 84, 180

c) 60 và 180

d) 15 và 19

Giải:

a) tìm hiểu ra thừa số yếu tố:

56 = 2³ × 7

140 = 2² × 5 × 7

những thừa số yếu tố chung là 2; 7.

⇒ ƯCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28

b) 84 = 2² × 3 × 7

24 = 2³ × 3

180 = 2² × 3² × 5

⇒ ƯCLN (24; 84; 180) = 2²× 3 = 12.

c) 60 = 2² × 3 × 5

180 = 2² × 3² × 5

⇒ ƯCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60

Bài tập 6: Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bia thành những mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị xentimét).

Bài tập 7: Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số 14 và 28. (Biết những phần tử của ước ∈ Z+)

Lời giải: Cách tính ước chung lớn nhất là trước tiên ta tìm hiểu ra thừa số yếu tố của hai số 14 và 28 như sau:

14 = 2 x 7

28 = 2 x 2 x 7

Ta có những thừa số yếu tố chung là 2 và 7

Vậy ước chung lớn nhất của 2 số 14 và 28 là: 2 x 7 = 14

Được viết: ƯCLN(14,28) = 14

Bài tập 8: Tìm ước chung của 24 và 30, và ước chung lớn nhất là bao nhiêu? (Biết những phần tử của ước ∈ Z+)

Lời giải: Tìm ước của từng số ta có

Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}

Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

=> Ước chung của 24 và 30 là: ƯC(24,30) = {1, 2, 3, 6}

Trong những ước chung của 24 và 30 ta thấy 6 là ước lớn nhất. do vậy: ƯCLN(24,30) = 6

Bài tập 9: Tìm ước chung của 36 và 120 và chỉ ra ước chung lớn nhất của chúng. (Biết những phần tử của ước ∈ Z+)

Lời giải: Cách tìm ước chung thì trước tiên ta tìm ước của từng số:

Ư(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Ư(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Trong những ước của 36 và 120 ta thấy có những ước chung là: 1, 2, 3, 4, 6, 12

=> Vậy ƯC(36, 120) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Mà trong số những ước chung thì 12 là ước lớn nhất nên ƯCLN(36, 120) = 12

Bài tập 10: Tìm hai ước của 15 có tổng bằng -4. (Biết những phần tử của ước ∈ Z)

Lời giải: Vì ước của 15 thuộc Z nên ta có:

Ư(15) = { -5, -3, -3, 1, 3, 5}

Theo đề bài cho thì tổng 2 ước cần tìm bằng – 4 => Vậy hai ước số cần tìm là: -5 và 1

Một số khái niệm liên quan

Số yếu tố là gì?

Số yếu tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

những số yếu tố:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19,

23, 29,

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

101 …

Hợp số là gì?

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có rất nhiều hơn hai ước.

Lưu ý:

Số 0 và 1 không là số yếu tố và cũng không là Hợp số.

Trong chương trình Toán lớp 6, những em sẽ được làm quen với ước số và bội số. Bài viết Ước số là gì – Bội số là gì? sẽ giúp những em củng cố khái niệm về ước số, bội số, ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất. Ngoài ra những em sẽ ôn tập thêm về số nguyên và hợp số. Với một số phương pháp giải bài toán về tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, những em sẽ hoàn thành bài tập tìm UCLN và BCNN một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.

Video về ước là gì? Bội là gì? UCLN và BCNN

Kết luận

Bài viết trên đây là toàn bộ thông tin về ước, bội là gì? Cách tìm ước và bội, UCLN, BCNN và ví dụ. Mong rằng bài viết đã góp phần giúp những bạn làm tốt phần tri thức này. Chúc những bạn thành công!

Bản quyền bài viết thuộc THPTSocTrang.Edu.Vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: cmm.edu.vn