Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

– Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P); B = d2 ∩ (P)

– d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

– Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ (1 – t; t; 4t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t + 2. 4t = 0 ⇔ t = 0 => A (1; 0; 0)

– Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 4 + 2t’; 4)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: (4 + 2t’) + 2.4 = 0 ⇔ t = – 6 => B (8; -8; 4)

– Ta có:

Vậy phương trình của d là :

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

– Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ (2t-1;-t+1;t+1)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có:

(2t-1)-( -t+1)-2(t+1)+3 = 0 ⇔ 2t- 1 + t – 1- 2t- 2+ 3= 0

⇔ t- 1= 0 nên t=1 => A (1; 0; 2)

– Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ (t+1;t+2;2t-1)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) Có: (t+1)-(t+2)-2(2t-1)+3 = 0 ⇔-4t+4=0 nên t=1 => B (2; 3; 1)

-Ta có

Vậy phương trình của d là :

Chọn A

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- 3z – 2= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Tính AB?

A. 8

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi A là giao điểm của d1 và( P)

Tọa độ A( 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2- t + 2( 1+ 3t) – 3( 1+ 2t) = 0 ⇔ 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0 ⇔ – t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên A( 1; 4; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d2 và( P)

Tọa độ B( 1-3t; – 2+ t; – 1- t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- 3t + 2( – 2+ t) – 3( – 1- t) – 2 = 0

⇔ 1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0

⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t= 1 nên B ( -2; – 1; -2)

=>

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ; và mặt phẳng (P): x- y – 2z + 3= 0. Biết đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 . Phương trình Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi A; B lần lượt là giao điểm của Δ với d1; d2

Do Δ⊂(P)⇒A,B cũng chính là giao điểm của (P) với

Khi đó :

Suy ra phương trình

Chọn A.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- z + 1= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2 . Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.(9;-8; -7)

B. ( 9; 1; 4)

C. ( 6; 9; -2)

D. (-2; 1; -2)

Lời giải:

+ Gọi A là giao điểm của d1 và( P)

Tọa độ A( 2t; 3; 1- t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2t + 2.3 – ( 1- t) + 1= 0 ⇔ 3t + 6= 0 ⇔ t= – 2 nên A( – 4; 3; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d2 và( P)

Tọa độ B( 1- t; -2+ 2t; – t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t + 2( – 2+ 2t) + t + 1= 0

⇔ 4t – 2= 0 ⇔ t= 1/2

=>

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M( 1; 2; 1); N( 0;1; 2) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- 2y+ z = 0 cắt đường thẳng d và MN?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng MN:

Đường thẳng MN đi qua M( 1; 2; 1) và có vecto chỉ phương nên có phương trình:

+ Gọi A là giao điểm của d và( P)

Tọa độ A(- 1+ 2t; – 2t; 1+ t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: – 1+ 2t – 2( – 2t)+ 1+ t = 0 ⇔ 7t = 0 ⇔ t= 0 nên A( -1; 0; 1)

+ Gọi B là giao điểm của MN và( P)

Tọa độ B( 1-t; 2- t; 1+ t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t – 2( 2- t) + 1+ t= 0 ⇔ 2t – 2= 0

⇔ t= 1 nên B( 0; 1; 2)

+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A( -1; 0;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 1; 1;1); B(0;1; 2); C( 2; 1; 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y- 2z- 3= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; 1) vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M( 1-t; 1; 1+ t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 1- t + 1- 2( 1+ t) – 3= 0 ⇔ 1- t + 1- 2- 2t- 3= 0 ⇔ – 3t – 3= 0 ⇔ t= -1

Suy ra M( 2; 1; 0).

+ Phương trình đường thẳng OC : đi qua O(0; 0;0) và có vecto chỉ phương nên phương trình OC là:

+ gọi giao điểm của OC và ( P) là N( 2t; t; 2t) thay vào phương trình (P) ta được : 2t + t – 2.2t – 3= 0 ⇔ – t- 3= 0 ⇔ t= – 3 nên N( -6; -3; – 6)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 4); B(-3; -2; 2) và C( 1; -2; -1). Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): – 2x+ y+z-5= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và CO tại M và N . Tìm tọa độ vecto ?

A. ( 1; 2; – 3)

B. ( 0; 2; -2)

C. (0; -2; 2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 2; 4) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là M( 1+ 2t; 2+ 2t; 4+t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được :

– 2( 1+ 2t) + 2+ 2t+ 4+ t – 5= 0

⇔ – 2- 4t + 2+ 2t +4+ t- 5= 0

⇔ – t – 1= 0 ⇔ t= -1 nên M( – 1; 0; 3) .

+ Viết phương trình đường thẳng OC: đi qua O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng OC:

Gọi giao điểm của đường thẳng OC và (P) là N( t; – 2t; – t) thay vào phương trình (P) ta được : – 2t+ (-2t)+ (-t) – 5= 0 ⇔ – 5t – 5= 0 ⇔ t= – 1 nên N( -1; 2; 1)

=>

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P):x- 2y = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

– Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ ( t; t; 2- t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t- 2t = 0 ⇔ t = 0 => A ( 0; 0; 2)

– Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 3; 2t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: 2- t’- 2.3 = 0 ⇔ t’ = – 4 => B (6; 3; – 8)

– Ta có:

Vậy phương trình của d là :

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x +2y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

– Giao điểm A của d1 và (P) có tọa độ (- t; -1+2t;1+t)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có: – t+ 2( – 1+ 2t) – 2( 1+ t)+ 3= 0 ⇔ – t- 2 + 4t – 2- 2t + 3= 0 ⇔ t – 1= 0 ⇔ t= 1 nên A ( – 1; 1; 2).

– Giao điểm B của d2 và (P) có tọa độ (-t;t; -1-2t)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) Có:

– t+ 2t – 2( -1- 2t) + 3= 0

⇔ – t + 2t + 2+ 4t + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= -1 nên B(1; -1; 1)

-Ta có

Vậy phương trình của d là :

Chọn D

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ lần lượt tại A(1; 0; 0); B( 0; 2; 0) và C( 0; 0; 2). Đường thẳng d nằm trong (P)và cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại M và N. Tính MN?

A. 8

B.

C.

D.

Lời giải:

+Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: ⇔ (P): 2x+ y + z- 2= 0

+ Gọi M là giao điểm của d1 và( P)

Tọa độ M( -t; 1- t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2( -t) + ( 1- t) + ( 1+ 2t) – 2= 0

⇔ – 2t + 1- t + 1+ 2t – 2= 0

⇔ – t = 0 ⇔ t= 0 nên M( 0; 1; 1) .

+ Gọi N là giao điểm của d2 và( P)

Tọa độ N( 1; 3+ t; -2- 2t). Thay tọa độ điểm N vào phương trình (P) ta được:

2. 1+ 3+ t – 2- 2t – 2= 0

⇔ -t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên N( 1; 4;- 4)

=> Độ dài

Chọn B

Câu 4:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Biết đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (Oxy) và cắt hai đường thẳng d1; d2. Phương trình Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Mặt phẳng ( Oxy) có phương trình z= 0

+ Gọi giao điểm của d1 và mp( Oxy) là A( 2t; – 2- t; t) thay vào phương trình (Oxy) ta được : t= 0

=> tọa độ A( 0; – 2; 0) .

+ Gọi giao điểm của d2 và mp( Oxy) là B( 2- 2t; t; -2- 2t) thay vào phương trình ( Oxy) ta được : – 2- 2t= 0 ⇔ t= – 1 nên B( 4; – 1; 0)

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Mặt phẳng (P) song song với mp( Q): x- 2y- 2z= 0 và đi qua điểm I( 1; 1; 1). Đường thẳng d nằm trong (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 .Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.(- 4; -15;13)

B. ( – 4; 12; – 13)

C. ( 4;- 13; 15)

D. (- 2; 4; – 7)

Lời giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P):

Do mp(P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x- 2y- 2z + D= 0

Do điểm I( 1; 1; 1) thuộc mặt phẳng ( P) nên thay tọa độ điểm I vào ta được : 1- 2.1- 2. 1+ D= 0 ⇔ D= 3

Vậy phương trình mp (P): x- 2y – 2z + 3= 0

+ Gọi A là giao điểm của d2 và( P)

Tọa độ A( 1- t; – 2t; t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 1- t – 2(-2t ) – 2t + 3 =0 ⇔ t= -4

=> Tọa độ A( 5; 8; – 4)

+ Gọi B là giao điểm của d1 và( P)

Tọa độ B( 1; -2+ t; -1- 2t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1 – 2( – 2+ t) – 2( – 1- 2t) + 3= 0

⇔ 1+ 4- 2t + 2+ 4t + 3= 0

⇔ 2t + 10= 0 ⇔ t= – 5

=> Tọa độ B( 1; – 7; 9 )

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M(1; 1; 1); N(2; -3;1) và đường thẳng Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): 2x+y+ 2 z = 0 cắt đường thẳng d và MN?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng MN:

Đường thẳng MN đi qua M(1; 1;1) và có vecto chỉ phương nên có phương trình:

+ Gọi A là giao điểm của d và( P)

Tọa độ A ( – t; 2t; 1+ t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được:

2( – t) + 2t +2( 1+ t) = 0

⇔ – 2t + 2t + 2+ 2t= 0

⇔ t= – 1 nên A( 1; – 2; 0)

+ Gọi B là giao điểm của MN và( P)

Tọa độ B( 1+ t;1- 4t;1 ). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

2( 1+ t) + ( 1- 4t) + 2= 0

⇔

+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A(1; -2; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 2; 1; 1); B( 2; 1; 0); C(1; 0; – 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y+ z- 2= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A(2;1;1) vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M(2;1; 1- t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2+ 1+1- t – 2= 0 ⇔ t= 2

=> Tọa độ M(2;1; -1)

+ Phương trình đường thẳng OC: đi qua O(0; 0;0) và có vecto chỉ phương nên phương trình OC là:

+ gọi giao điểm của OC và ( P) là N(t; 0; -2t) thay vào phương trình (P) ta được : t+ 0 + (-2t) – 2 = 0 ⇔ t= – 2

=> tọa độ N( – 2; 0; 4)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; – 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là:

Chọn D .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( – 2; 0; 1); B( – 1; 1; 2) và Đường thẳng . Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): – 3x+ y+ z- 1= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và Δ tại M và N . Tìm tọa độ vecto ?

A.

B.

C. (0; 2;- 4)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A( – 2; 0; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là M( – 2+ t; t; 1+ t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được :

– 3( – 2+ t) + t + 1+ t – 1= 0

⇔ t= 6 nên M( 4; 6; 7)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và (P) là N(1- t;2; 2t ) thay vào phương trình (P) ta được : – 3( 1- t) + t + 1+ t – 1= 0

⇔ – 3+ 3t + 2t= 0

⇔

=>

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Săn SALE shopee tháng 5:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k