Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

– Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

– Tìm giao điểm B = (P) ∩ (d2)

– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

– Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1

– Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d2

– Đường thẳng d cần tìm là d = (P) ∩ (Q)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; – 1; 3) và hai đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) – 2( z- 3) =0 .Hay x+ 4y – 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( 2+ t; – 1- t; 1+ t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( – 1- t) – 2( 1+ t) + 9= 0 ⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0 ⇔ – 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1 => B( 3; -2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhận vecto

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( 1;2; -2) vuông góc với d1 và cắt d2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( t; 1+ 2t; t) => .

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên => = 0 ⇔ 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0 ⇔ 2t – 2 + 4t – 2+ t+ 2= 0 ⇔ 7t- 2= 0 nên t= 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; – 2) và có vectơ chỉ phương chọn vecto chỉ phương ( 5; 3; – 16)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng: và điểm A (1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d1 và cắt d2.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

– Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x – 1) – 1 . (y – 2) + 1. (z – 3) = 0 hay 2x – y + z – 3 = 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là B

B thuộc d2 nên tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; – 1+ t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) – ( 1+ 2t) + ( – 1+ t) – 3= 0 ⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 ⇔ -3t – 3= 0 nên t= -1

Suy ra: B (2; -1; -2)

– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (0; 1; 1), vuông góc với d1 và cắt d2.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

– Goi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

– Một điểm thuộc d2 là : M (0; 0; 2) ;

Mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:

=>

– Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; -2) vuông góc với đường thẳng và cắt trục hoành có phương trình là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi .

Ta có , Khi đó:

Do ⇔ 2m+ 5= 0

⇒

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

Phương trình của d đương thẳng d:

Chọn C .

Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 2; 3) và B( 3; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(2; 1; 2)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H( 2; 1+ t; 2t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là: , Khi đó:

Do ⇔ t= 1 nên tọa độ H( 2; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M( 2; 1; 2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua M( 2; 3; 1); cắt d1 và vuông góc với d2. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; -2)

C. (1; -1; -2)

D.( 1; 1;-2)

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

– Một điểm thuộc d2 là : N (1; 1; 2);

Mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:

– Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

Chọn D

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua A( -1; -1;2) ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a+ b+ c?

A. – 3

B. 5

C. 7

D. – 1

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 2+ 3t; 1- t; 2t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là: , Khi đó:

Do ⇔ 3+ 3t= 0 nên t= – 1 => tọa độ H( -1; 2; – 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A(-1; -1;2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5

Chọn B.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): 7x+ y- 4z= 0 và cắt hai đường thẳng d1; d2 là:

A:

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A∈ d1 nên tọa độ A( 2a; 1- a; – 2+ a)

Điểm B∈ d2 nên tọa độ B( – 1+ 2b; 1+ b; 3)

=>

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) nên hai vecto AB→ và np→ cùng phương ⇔ có một số k thỏa mãn

⇔

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2; -1; 1) và hai đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1.

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là (1; 2; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x+ 2) + 2( y+1) – 2( z- 1) =0 Hay x+ 2y – 2z + 6= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d2 và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( – 2t; – 1- t; t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : – 2t + 2( – 1- t) – 2t+ 6 = 0 ⇔ – 2t – 2 – 2t- 2t+ 6= 0 ⇔ – 6t +4= 0 ⇔ t= 2/3 => B( (- 4)/3; (- 5)/3; 2/3)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A( -2; -1; 1) nhận vecto chọn ( 2; -2; – 1).

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2; 1; -3) vuông góc với d1 và cắt d2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của của d và d2 là B.

Do B thuộc d2 nên tọa độ B( 3- 2t; t; 4+ t ) =>

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên

=> = 0

⇔ 1( 5- 2t) – 3( t- 1) + 1( 7+ t)= 0 ⇔ 5- 2t – 3t + 3+ 7+ t= 0 ⇔ – 4t + 15= 0 nên t= 15/4

+ Đường thẳng d đi qua điểm A (-2; 1; -3) và có vectơ chỉ phương chọn vecto chỉ phương ( -10; 11; 43)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Câu 3:

Cho hai đường thẳng: và điểm A (0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d1 và cắt d2. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( – 5; – 6; 9)

B.( 5; – 6; 7)

C. ( -10; 12; 17)

D. ( 1; 1; 2)

Lời giải:

– Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0; 0; 1) và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: -2.(x – 0) – 3 . (y – 0) + 1. (z – 1) = 0 hay – 2x – 3y+ z- 1 = 0 ⇔ 2x+ 3y – z+ 1= 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là B

B thuộc d2 nên tọa độ B( 1- t; 3; – 2+ 2t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) + 3. 3- ( – 2+ 2t) + 1= 0 ⇔ 2- 2t + 9 + 2- 2t + 1= 0 ⇔ – 4t + 14= 0 ⇔ t= 7/2 =>

– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cho t= 2 ta được điểm I( -10; 12; 17) thuộc đường thẳng d .

Chọn C.

Câu 4:

Cho đường thẳng: và hai điểm M( 1; -2; -1); N(0; 1; 2) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 0; 0 ), vuông góc với MN và cắt d1.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d và d1 là B( -2+ 2t; t; 1- t)

+ Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng AB nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng MN

=>

=> – 1( – 3- 2t) + 3. t+ 3( 1- t) = 0 ⇔ 3+ 2t +3t + 3- 3t= 0 ⇔ 2t+ 6= 0 ⇔ t= – 2 => B( – 6; – 2; 3)

+ Đường thẳng d đi qua A (1; 0;0) nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A( -1; 2; 3) vuông góc với đường thẳng và cắt trục hoành. Hỏi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau

A. 4x+ y- 10= 0

B. 2x+ y- 6z+ 1= 0

C. x+ 2y- z+ 1= 0

D. – x+ 2y- 2z= 0

Lời giải:

Gọi

Ta có , Khi đó:

Do ⇔ – 2m- 2+ 4- 3= 0 ⇔ m=-1/2 ⇒ ⇒

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

Phương trình của d đương thẳng d:

+ Xét mặt phẳng (P): 4x + y- 10= 0 có vecto pháp tuyến

=>

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Chọn A .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 2; 0); B( 2; 1;1) và C( 2; 3; 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G( 1; 2;1) .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là: H( 1- t; – 2+ 2t; 2)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là: , Khi đó:

Do ⇔ 2t- 4= 0 ⇔ t= 2 nên tọa độ H( -1; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G( 1; 2; 1) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua I( 1; 1;1); cắt d1 và vuông góc với d2. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. (-3; 1; -3)

B. ( -3; -1; 3)

C. (-3; 1; 3)

D.( 3; 1; 3)

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến

là

– Một điểm thuộc d2 là : O(0; 0;0);

Mặt phẳng (Q) đi qua I và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là:

– Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

Chọn D

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua A(3; 2; 2) ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a.b.c?

A. 8

B. – 12

C. – 8

D. 12

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 3t; -2+ t; 2- t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là: , Khi đó:

Do ⇔ 3t – 3= 0 nên t= 1 => tọa độ H( 3; – 1; 1)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A( 3; 2; 2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= 2; b= – 3 và c= 2 nên abc= – 12

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Săn SALE shopee tháng 5:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k