Cách Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M).
Phương pháp viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt hai đường thẳng d1 và d2
Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $Ain {{d}_{1}};Bin {{d}_{2}}$theo ẩn t và u.
Do $Delta //dRightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=k.overrightarrow{{{u}_{d}}}Leftrightarrow overrightarrow{AB}=k.overrightarrow{{{u}_{d}}}Rightarrow t;uRightarrow $tọa độ các điểm A,B.
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Chú ý:
R Trường hợp: $Delta bot (P)Rightarrow overrightarrow{AB}=k.overrightarrow{{{n}_{(P)}}}Rightarrow $t và u.
R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $overrightarrow{MA}=k.overrightarrow{MB}Rightarrow t;u$và k.
Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): $(P):x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y+1}{-1}=frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:left{ begin{array} {} x=-1+t \ {} y=-1 \ {} z=-t \ end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Lấy $Min {{d}_{1}}Rightarrow M(1+2t;-1-t;t);Nin {{d}_{2}}Rightarrow N(-1+u;-1;-u)$
Suy ra $overrightarrow{MN}=left( u-2t-2;t;-u-t right)$
Do $dbot (P)Rightarrow overrightarrow{MN}=k.overrightarrow{{{n}_{(P)}}}Rightarrow frac{u-2t-2}{1}=frac{t}{1}=frac{-u-t}{1}Leftrightarrow left{ begin{array} {} u=frac{4}{5} \ {} t=-frac{2}{5} \ end{array} right.Rightarrow Mleft( frac{1}{5};frac{-3}{5};frac{-2}{5} right)$
Phương trình đường thẳng d là: ${{d}_{1}}:frac{x-frac{1}{5}}{1}=frac{y+frac{3}{5}}{1}=frac{z+frac{2}{5}}{1}$
Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A(1;-1;1)$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y+3}{1}=frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:left{ begin{array} {} x=2-t \ {} y=t \ {} z=3t \ end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Gọi $B(1+2u;-3-u;-1+2u)in {{d}_{1}}$và $C(2-t;t;3t)in {{d}_{2}}$
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( 2u;u-2;2u-2 right);overrightarrow{AC}=(1-t;t+1;3t-1)$
Do A, B, C thẳng hàng nên $overrightarrow{AB}=k.overrightarrow{AC}Rightarrow left{ begin{array} {} 2u=k(1-t) \ {} u-2=k(t+1) \ {} 2u-2=k(3t-1) \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2u-k+kt=0 \ {} u-k-kt=2 \ {} 2u+k-3kt=2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} u=0 \ {} k=-1 \ {} kt=-1 \ end{array} right.$
Suy ra $u=0;t=1Rightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;1;1)Rightarrow d:left{ begin{array} {} x=1 \ {} y=-1+t \ {} z=1+t \ end{array} right.$
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-3}{-1}=frac{y-3}{-2}=frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:frac{x-5}{-3}=frac{y+1}{2}=frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là
A. $frac{x-1}{1}=frac{y+1}{2}=frac{z}{3}$ B. $frac{x-2}{1}=frac{y-3}{2}=frac{z-1}{3}$
C. $frac{x-3}{1}=frac{y-3}{2}=frac{z+2}{3}$ D. $frac{x-1}{3}=frac{y+1}{2}=frac{z}{1}$
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
$M,NRightarrow M(1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}),N(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}})$
Ta có $overrightarrow{MN}=left( {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 right)$và $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 1;2;3 right)$
Mà d vuông góc với (P) nên $overrightarrow{MN}=k.overrightarrow{{{n}_{P}}}Rightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \ {} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \ {} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{t}_{1}}=2 \ {} {{t}_{2}}=1 \ {} k=1 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} M(1;-1;0) \ {} N(2;1;3) \ end{array} right.$
$overrightarrow{MN}=(1;2;3)Rightarrow d:frac{x-1}{1}=frac{y+1}{2}=frac{z}{3}$. Chọn A.
Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:frac{x-1}{1}=frac{y+2}{1}=frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x+1}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:frac{x-1}{-1}=frac{y-2}{1}=frac{z-3}{3}$
A. $frac{x+1}{-1}=frac{y+1}{-1}=frac{z-2}{1}$ B. $frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$
C. $frac{x-1}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z-3}{-1}$ D. $frac{x-1}{1}=frac{y}{-1}=frac{z-1}{1}$
Lời giải chi tiết
Gọi $A(-1+2t;-1+t;2-t)in {{d}_{1}};B(1-u;2+u;3+3u)in {{d}_{2}}$
Khi đó: $overrightarrow{AB}=left( 2-u-2t;3+u-t;1+3u+t right)$
Do $AB//dRightarrow d:frac{2-u-2t}{1}=frac{3+u-t}{1}=frac{1+3u+t}{-1}Leftrightarrow left{ begin{array} {} t=1 \ {} u=-1 \ end{array} right.Rightarrow A(1;0;1)Rightarrow (Delta ):frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$
Chọn B.
Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $frac{x}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{1}$và $left{ begin{array} {} x=-1+2t \ {} y=1+t \ {} z=3 \ end{array} right.(tin mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là
A. $frac{x}{7}=frac{y-1}{1}=frac{z+2}{-4}$ B. $frac{x-2}{7}=frac{y}{1}=frac{z+1}{-4}$
C. $frac{x+1}{7}=frac{y-1}{1}=frac{z-3}{-4}$ D. $frac{x+frac{1}{2}}{7}=frac{y-1}{1}=frac{z-frac{1}{2}}{-4}$
Lời giải chi tiết
Giả sử $dcap {{d}_{1}}=ARightarrow Ain {{d}_{1}}$nên $A(2u;1-u;u-2)$
$dcap {{d}_{2}}=BRightarrow Bin {{d}_{2}}$nên $B(2t-1;t+1;3)$
Vì thế $overrightarrow{AB}=left( 2t-2u-1;t+u;5-u right)$là vecto chỉ phương của d.
Do $dbot (P)$nên $overrightarrow{AB}//overrightarrow{n}=(7;1;-4)$ở đây $overrightarrow{n}$là vecto pháp tuyến của mp (P)
Từ đó có hệ phương trình $frac{2t-2u-1}{7}=frac{t+u}{1}=frac{5-u}{-4}Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2t-2u-1=7t+7u \ {} 4(t+u)=u-5 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} t=-2 \ {} u=1 \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)$và đường thẳng d đi qua điểm $A(2;0;-1)$nên
$(d):frac{x-2}{7}=frac{y}{1}=frac{z+1}{-4}$. Chọn B.
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{2}=frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:frac{x-2}{2}=frac{y-2}{4}=frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:frac{x}{2}=frac{y}{1}=frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:frac{x-2}{2}=frac{y}{2}=frac{z-1}{-1}$
Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆?
A. $overrightarrow{n}=(2;1;1)$ B. $overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ C. $overrightarrow{n}=(2;0;-1)$ D. $overrightarrow{n}=(1;2;-2)$
Lời giải chi tiết
Ta có $overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}=left( 1;2;-2 right)$và $overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=left( 2;4;-4 right)$suy ra $overrightarrow{{{u}_{({{d}_{2}})}}}=2overrightarrow{{{u}_{({{d}_{1}})}}}Rightarrow ({{d}_{1}})//({{d}_{2}})$
Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1), d(2) là $y+z-2=0$
Gọi $A=({{d}_{3}})cap (P)Rightarrow Aleft( 1;frac{1}{2};frac{3}{2} right)$và $B=({{d}_{4}})cap (P)Rightarrow Bleft( 4;2;0 right)to overrightarrow{AB}=left( 3;frac{3}{2};-frac{3}{2} right)$
Khi đó $overrightarrow{AB}$ và ${{u}_{({{d}_{1}})}}$không cùng phương $Rightarrow AB$cắt đường thẳng (d1), (d2)
Vậy $overrightarrow{{{u}_{(Delta )}}}=frac{2}{3}overrightarrow{AB}=left( 2;1;-1 right)$là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt (d1), (d2), (d3), (d4).
Chọn B.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M(3;3;-2)$và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{3}=frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:frac{x+1}{-1}=frac{y-1}{2}=frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A.3 B. 2 C. $sqrt{6}$ D. $sqrt{5}$
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1+t;2+3t;t)in {{d}_{1}};B(-1-u;1+2u;2+4u)in {{d}_{2}}$
Ta có: $overrightarrow{MA}=k.overrightarrow{MB}Rightarrow left{ begin{array} {} t-2=k(-u-4) \ {} 3t-1=k(2u-2) \ {} t+2=k(4u+4) \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} t+4k+ku=2 \ {} 3t+2k-2ku=1 \ {} t-4k-4ku=-2 \ end{array} right.$
Giải hệ với ẩn t; k và ku $Rightarrow left{ begin{array} {} t=0 \ {} k=frac{1}{2} \ {} ku=0 \ end{array} right.Rightarrow t=0;u=0Rightarrow A(1;2;0);B(-1;1;2)Rightarrow AB=3$. Chọn A.
