Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

– Viết PT mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 – Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P) – Tìm giao điểm M = d1 ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d1; N = d ∩ d2 Vì d là đường vuông góc chung nên

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

– Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 có

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)

– Mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P) có

=>

1 điểm thuộc d1 cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

– Giao điểm M = d2 ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 ⇔ t = -25/154

=>

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

Chọn B.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

M = d ∩ d1 => M (t; 5-2t; 14-3t)

N = d ∩ d2 => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)

=>

Ta có :

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2

+ Do A thuộc d1 nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

+ Do B thuộc d2 nên B( b; 3; – 2+ b)

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

+ Ta có:

=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là :

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A. ( -3; 0; -1)

B. ( 1; 0; 1)

C. ( -1; 0; 2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M( – 3; 0;-1)

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(1; 2; 3); B(0;1 4) và C( – 1; -2; 1) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung?

A. 2

B. 4

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N

+ Điểm M thuộc AB nên M( 1- m; 2- m; 3+ m)

+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; – n)

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A( 1; 1; 1) và B( -2; 1; 0). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 0; 1; 1)

B. ( -2; 0; 1)

C. ( 0;0; 1)

D. ( 0; 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Ox có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

+ Lại có vecto cùng phương với vecto u→ nên u’→ cũng là một vecto chỉ phương của d.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oz tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( 0;1; – 1)

B. ( 2; -1; 2)

C. ( -2; 1; 0)

D. ( 0; 2; 2)

Lời giải:

+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oz:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A( 1+ a; 2; a) .

+ Điểm B thuộc Oz nên B( 0; 0; b)

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :

=> Tọa độ hai điểm A(0; 2; – 1) và B( 0; 0; -1)

=>Tọa độ trung điểm của AB là M( 0; 1; – 1)

Chọn A.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng . Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là: .

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A( 1; a; 1-a) .

+ Điểm B thuộc d2 nên B( 2+ b; 1- b; 2)

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :

=> Phương trình d:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

+ Hai đường thẳng d1; d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng đã cho lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; – 2a; a)

+ Điểm B thuộc d2 nên B( – 1+ 2b; 1 + 2b; -1+ b)

+ ta có đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng đã cho nên :

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

Gọi M = d ∩ d1 => M ( m; – 2; 1- m) và N = d ∩ d2 => N ( 2; -1+n; -1+ n)

+ Hai đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :

Ta có

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Biết B( m; n; p). Tính m+ n- p?

A. – 2

B. 4

C. 0

D. – 3

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2

+ Do A thuộc d1 nên A( 2a; 1+ a; – a)

+ Do B thuộc d2 nên B( 1- b; – 2; 2- b)

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

+ Ta có:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(- 2; 1; 3); B( 1;2; 1); C(0; 0; 2) và D(2; 3; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1; 2; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M( – 2+ 2m; 1-m; 3- m)

+ N thuộc BD nên N( 1+ n; 2+ n; 1)

+ Ta có đường thẳng d vuông góc với AC và BD nên :

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(0; -1; 2); B( -1; 0; 1) và C(1;2 ; -1 ) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Độ dài đường vuông góc chung gần với số nào nhất?

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 0; -1; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N

+ Điểm M thuộc AB nên M( – m; – 1+ m; 2- m)

+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; – n)

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A(-1; 0; 1) và B( 0;1;2). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Oy. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 0; 1; 1)

B. ( -1; 0; 1)

C. ( 0;0; 1)

D. ( 0; 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Oy có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Oy nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oy tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( -1; 1; 0)

B. ( 2; -1; 2)

C. ( -2; 1; 0)

D. ( 0; 2; 2)

Lời giải:

+ Trục Oy: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oy:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A( -2; 1+ a; – a) .

+ Điểm B thuộc Oy nên B( 0;b; 0)

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oy nên :

=> Tọa độ hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 0; 1; 0)

=>Tọa độ trung điểm của AB là M( -1; 1; 0)

Chọn A.

Câu 8:

Cho hai đường thẳng Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là: .

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d1 nên A( a; – 1- a; 2) .

+ Điểm B thuộc d2 nên B( 2; 1+ b; 0)

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :

=> Phương trình d:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Săn SALE shopee tháng 5:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k